密码学之椭圆曲线

引言

DH（Diffie-Hellman）密钥交换算法于1976年提出，是第一个公开密钥交换算法。其基础是数学中的群论，群论也是大多数公开密钥密码的基础。简单来说，群是一组元素的集合以及在这些元素上定义的特殊二元运算。
一个群需要满足如下性质：

1. 封闭性：群中两个元素的运算结果仍然是集合中的元素。
2. 结合律：多个元素进行计算时，可以按照任意顺序进行运算。
3. 单位元：群中有且仅有一个元素是单位元，与任一元素进行计算，不会改变该元素。
4. 逆元：群中的元素都有逆元，群元素及逆元的运算结果等于单位元。
   DH密钥交换算法的安全性就基于群上的离散对数问题。

椭圆曲线

DH算法可以在不同的群上实现，比如模数为素数的乘法群。而另一种常用的群则由椭圆曲线构成。
椭圆曲线密码（Elliptic curve cryptography , ECC）在提出后很快得到应用，且具有密钥长度较短的特点。

椭圆曲线的定义

椭圆曲线是曲线中的一种, x和y坐标满足方程
y 3 + a