高斯分布、高斯混合模型、EM算法详细介绍及其原理详解

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前言

  今天给大家带来的主要内容包括：高斯分布，高斯混合模型，EM算法。废话不多说，下面就是本文的全部内容了！

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一、高斯分布

  小明是一所大学的老师，一次考试结束后，小明在统计两个班级同学的成绩：

图1：两个班级同学的成绩

  其中，橙色的是一班的成绩，蓝色的是二班的成绩。但是，这次同学们非常调皮，都没有写上自己的名字和班级，这下给小明整不会了。他想：我能不能去猜一猜这些成绩里面，哪些是一班的，而哪些是二班的呢？

图2：两个班级同学没有在试卷上写自己的名字和班级

  根据以往的经验，大多同学的成绩都分布在平均值左右，只有少数的同学考的非常好或者是非常不好，我们把这种概率分布叫做高斯分布：

图3：高斯分布

  描述高斯分布需要使用到两个参数：

• $\mu$：描述数据的平均值，也被称为均值
• ${\sigma }^2$：描述数据的离散程度，也被称为方差

图4：高斯分布的两个参数

  高斯分布的概率密度公式为：
$$P(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

二、高斯混合模型

  现在我们已经清楚了什么是高斯分布，那让我们再回到小明的例子：

图5：两个班级同学没有在试卷上写自己的名字和班级

  因为这是两个班级的成绩，所以小明尝试使用两个高斯分布来拟合：
$$\begin{array}{c}P(x|{\gamma }_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}\exp (-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2})\\ P(x|{\gamma }_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}\exp (-\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2})\end{array}$$
  这样的模型也被称为高斯混合模型。 在这个模型里面：

• 如果我们知道哪些点来自一班或者是来自二班，那么我们就可以计算出来各自班级成绩的平均值和方差
• 如果我们知道各自班级成绩的平均值和方差，我们也可以大概猜出来哪些点是来自一班的，哪些点是来自二班的

  这其实是一个鸡生蛋，蛋生鸡的问题：

图6：数据与分布的关系

  如果我们有数据就可以来拟合分布，如果我们有了概率分布，就可以来判断数据的类别。但是，问题是我们现在什么都没有，应该怎么办呢？

三、EM算法

  根据以上分析，我们现在什么数据都没有，还想对成绩进行分类，显然是有难度的。我们应该怎么办呢？既然我们没有数据，不如先做一个合适的假设来确定一部分的值。现在我们假设两个分布是这样的：

图7：假设的两个班级的成绩分布

  而且两个类别的先验概率是相等的。需要注意的是，以上这些都是假设，但是由于这些假设的存在，所以下式的值就是已知的量：
$$P({\gamma }_1)=P({\gamma }_2)=0.5$$

3.1 E步骤（Expectation）

  现在我们来评估一下每个成绩点是属于哪个班级的，对于第$i$个数据$x_i$来说：

图8：许多成绩点中的某一个成绩点

  根据贝叶斯定理，$x_i$属于一班的概率是这样求的：
$${\gamma }_{i1}=P({\gamma }_i|x_i)=\frac{P(x_i|{\gamma }_1)P({\gamma }_1)}{P(x_i|{\gamma }_1)P({\gamma }_1)+P(x_i|{\gamma }_2)P({\gamma }_2)}$$
  上面的式子看似复杂，但是其中的每一项现在都是已知的，直接计算就可以了。现在已经得到了$x_i$属于一班的概率，那么$x_i$属于二班的概率就是1减去$x_i$属于一班的概率：
$${\gamma }_{i2}=P({\gamma }_2|x_i)=1-{\gamma }_{i1}$$
  这样我们就可以给每一个点涂上对应的颜色，来表示它们可能属于的班级：

图9：对于任意一个成绩点的可能属于的班级

  这一步被称为E步骤（Expectation），可以理解为求每一个点属于每个类别的期望值。

3.2 M步骤（Maximization）

  此时，我们已经得到了每一个点属于每个班级的可能性，我们就可以重新校准两个班级的高斯分布了，也就是重新计算两个班级的平均值和方差：

• 一班：
  $$\begin{array}{l}{\mu }_1=\frac{{\gamma }_{11}{x}_1+{\gamma }_{21}{x}_1+\dots +{\gamma }_{N1}{x}_N}{{\gamma }_{11}+{\gamma }_{21}+\dots +{\gamma }_{N1}}\\ {\sigma }_1^2=\frac{{\gamma }_{11}(x_1-{\mu }_1{)}^2+\dots +{\gamma }_{N1}(x_N-{\mu }_1{)}^2}{{\gamma }_{11}+\dots +{\gamma }_{N1}}\end{array}$$

• 二班：
  $$\begin{array}{l}{\mu }_2=\frac{{\gamma }_{12}{x}_1+{\gamma }_{22}{x}_1+\dots +{\gamma }_{N2}{x}_N}{{\gamma }_{12}+{\gamma }_{22}+\dots +{\gamma }_{N2}}\\ {\sigma }_2^2=\frac{{\gamma }_{12}(x_1-{\mu }_2{)}^2+\dots +{\gamma }_{N2}(x_N-{\mu }_2{)}^2}{{\gamma }_{12}+\dots +{\gamma }_{N2}}\end{array}$$

  同时，也可以更新两个班级的先验概率：

• 一班：
  $$P({\gamma }_1)=\frac{{\gamma }_{11}+\dots +{\gamma }_{N1}}{N}$$

• 二班：
  $$P({\gamma }_2)=\frac{{\gamma }_{12}+\dots +{\gamma }_{N2}}{N}$$

  这一步被称为M步骤（Maximization），可以理解为，通过当前的数据求出最可能的分布参数。

3.3 EM算法

  以上两个步骤合起来就是EM算法。当然，算法还没有结束，我们现在只是通过E和M两个步骤求出了两个班级的成绩分布的新的平均值和方差：

图10：两个班级新的成绩分布图像

  后面的工作就是重复E和M两个步骤：

• E步骤：根据两个班级的成绩分布更新点属于两个班级的可能性
• M步骤：更新两个班级的成绩分布的平均值和方差

  一直重复以上两个步骤，直到两个成绩分布收敛不再被更新：

图11：收敛后的两个班级的成绩分布图像

  这样我们就得到了一个还不错的分类效果：

图12：通过EM算法得到的分类结果

  虽然和真实数据相比仍然有误差，不过也可以猜的八九不离十了：

图13：真实的分类情况

  这样，通过EM算法，小明的问题就可以被解决了。

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总结

  以上就是本文的全部内容了，学习EM算法还需要一些概率论与数理统计和高等数学的相关知识，所以读者最好提前温习一下。学习机器学习避免不了学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计和矩阵论，所以读者一定要好好学习这几门课程！