2419. prufer序列（prufer编码，模板题）

活动 - AcWing

本题需要你实现prufer序列与无根树之间的相互转化。

假设本题涉及的无根树共有 n 个节点，编号 1∼n。

为了更加简单明了的描述无根树的结构，我们不妨在输入和输出时将该无根树描述为一个以 n 号节点为根的有根树。

这样就可以设这棵无根树的父亲序列为 f1,f2,…,fn−1，其中 fi 表示将该树看作以 n 号节点为根的有根树时，i 号节点的父节点编号。

同时，设这棵无根树的prufer序列为 p1,p2,…,pn−2。

现在，给定一棵由 n 个节点构成的无根树，以及该无根树的一个序列（父亲序列或prufer序列），请你求出另一个序列。

输入格式

输入共两行。

第一行包含两个整数 n,m，表示无根树的节点数以及给定序列类型。

如果 m=1，则第二行包含 n−1 个整数，表示给定序列为父亲序列。

如果 m=2，则第二行包含 n−2 个整数，表示给定序列为prufer序列。

输出格式

共一行，输出另一个序列，整数之间用单个空格隔开。

数据范围

2≤n≤10^5

输入样例1：

6 1
3 5 4 5 6

输出样例1：

3 5 4 5

输入样例2：

6 2
3 5 4 5

输出样例2：

3 5 4 5 6

 解析：

prufer编码主要作用即将一棵无根树转化为一个序列（即prufer序列），另外prufer序列也可以反过来转化为一棵树，即prufer序列和树之间是一一对应的，常用来解决一些证明问题，如凯莱定理等
证明凯莱定理（一个无向完全图有 n^(n−2） 棵生成树）：由于prufer序列和树之间是一一对应的关系，证明有多少棵不同的生成树即证明有多少种prufer序列，显然，prufer序列共有 n−2 项，其范围为 1∼n，故其种类数为 n^(n−2)

prufer编码的流程：假定 n 号节点为根，找到除根外度数最小的节点，在删除该节点之前，将其父节点输出，重复该流程，直到最后只剩下两个节点，即prufer序列只有 n−2 个元素，因为prufer序列最多 n−1 个元素，而最后一个元素一定为 n，所以这个元素可以省略，输出的元素即为prufer序列

如何将一棵树线性时间内转化为prufer序列？

假定当前出度为 0 且编号最小的节点为 j，则输出 f[j]，删除 j 之后，出度为 0 的节点至多只会增加一个，即 f[j]，判断删除 j 之后 f[j] 的出度是否为 0，如果 f[j] 的出度为 0 且 f[j]<j 说明 f[j] 是当前出度为 0 且编号最小的节点，递归输出这样的父节点即可，否则说明这样的 j 只会更大，即 j 只会增加，这样即可线性时间内将一颗树转化为prufer序列

如何将一个prufer序列转化为一棵树？

先将 n 这个节点加入到prufer序列中，不难发现，prufer序列中某个数出现的次数即为该数在树中的儿子节点的数量，从 1 开始找到儿子数量为 0 且编号最小的节点 j，其父节点即为当前遍历的prufer序列的元素，将该元素从prufer序列中删去，因为删除该元素后儿子数量为 0 的节点数量至多直接增加一个，如果该元素的儿子数量为 0 且编号小于 j，说明当前节点即为儿子数量为 0 且编号最小的节点，递归处理即可，这样的 j 同样也是递增的，故可以在线性时间内将一个prufer序列转化为一棵树

时间复杂度：O(n)

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e4 + 10;
const double INF = 1e8;
int n, m;
int f[N], d[N], p[N];void tree2prufer() {for (int i = 1; i < n; i++) {scanf("%d", &f[i]);d[f[i]]++;}for (int i = 1, j = 1; i < n - 1; j++) {while (d[j])j++;p[i++] = f[j];while (i < n - 1 && --d [p[i-1]] == 0 && p[i - 1] < j)p[i++] = f[p[i - 1]];}for (int i = 1; i < n-1; i++) {printf("%d ", p[i]);}
}void prufer2tree() {for (int i = 1; i <= n-2; i++) {scanf("%d", &p[i]);d[p[i]]++;}p[n - 1] = n;for (int i = 1, j = 1; i < n; j++, i++) {while (d[j])j++;f[j] = p[i];while (i < n && --d[p[i]] == 0 && p[i] < j)f[p[i]] = p[i + 1], i++;}for (int i = 1; i < n; i++) {printf("%d ", f[i]);}
}int main() {cin >> n >> m;if (m == 1)tree2prufer();else prufer2tree();return 0;
}