矩阵消元-MIT

1. 行变换消元法,XA 左乘行变换

• 假设我们有一个方程组表示如下：
  $$x+2y+z=2;3x+8y+z=12;4y+z=2\text{\hspace{1em}(1)}$$
• 矩阵表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 矩阵右乘AX列变换，矩阵左乘XA行变换
• 第一行乘以-3 加到第二行，矩阵表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ -3& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 第二行乘以-2 加到第三行，矩阵表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
• 小结：可以用矩阵形式表示消元如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ -3& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& -2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
• 上述矩阵转换成方程组可得：
  $$\begin{array}{r}x+2y+z=2\\ \\ 2y-2z=6\\ \\ 5z=-10\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
• 得出结果如下:
  $$x=2;y=1;z=-2\text{\hspace{1em}(7)}$$
• 小结
  $$AX=b\to 表示的是矩阵A的列向量通过X进行右乘列变换求和得到b\text{\hspace{1em}(8)}$$
  $$YA=c\to 表示的是矩阵A的行向量通过Y进行左乘行变换求和得到c\text{\hspace{1em}(9)}$$