【几何】平面方程

平面方程

平面方程是用一个方程来表示平面，平面上的所有点代入方程，方程都成立。因为用法的不同，平面方程一般有四种表现形式。

一般式

设 $\vec{n}=(A,B,C)$ 为平面的法线，$p_0(x_0,y_0,z_0)$ 、 $p(x,y,z)$ 为平面上两点。我们知道两个垂直向量的点乘为0，则平面的法线和平面上两点组成向量的点乘也为0，则 $\vec{n}\ast \overrightarrow{p_{0}p}=0$ , 可以得出
$$\begin{gathered} \vec{n}\ast (p-p_0)=0 \\ \vec{n}\ast p-\vec{n}\ast p_0=0 \\ 由于\vec{n}和p_0已知，设常数D=-\vec{n}\ast p_0,则 \\ \vec{n}\ast p+D=0 \\ A\ast x+B\ast y+C\ast z+D=0 \end{gathered}$$
平面的一般式为$A\ast x+B\ast y+C\ast z+D=0$，其中$(A,B,C)$为平面的法线，$-D$为原点$o(0,0,0)$到平面的垂直距离，$\vec{n}\ast p_0=\vec{n}\ast \overrightarrow{o{p}_0}$，为$\overrightarrow{o{p}_0}$在$\vec{n}$方向上的投影距离。

截距式

现在已知平面的一般式为$A\ast x+B\ast y+C\ast z+D=0$，

设$a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$, 则$A=-D/a,B=-D/b,c=-D/C$, 原式可改为
$$\begin{gathered} -\frac{D}{a}\ast x-\frac{D}{b}\ast y-\frac{D}{c}\ast z+D=0 \\ -D\ast (\frac{1}{a}\ast x+\frac{1}{b}\ast y+\frac{1}{c}\ast z)+D=0 \\ \frac{1}{a}\ast x+\frac{1}{b}\ast y+\frac{1}{c}\ast z=1 \end{gathered}$$
平面的截距式为$\frac{1}{a}\ast x+\frac{1}{b}\ast y+\frac{1}{c}\ast z=1$，其中$a,b,c$分别为平面与xyz轴的交点。

点法式

已知平面的法线 $\vec{n}$ 和平面上的两点 $p、p_0$ ,求平面的方程。和上面一般式的求取过程是一样的，只不过得到的最后的表达方式不同。
$$\begin{gathered} \vec{n}\ast (p-p_0)=0 \\ A\ast (x-x_0)+B\ast (y-y_0)+C\ast (c-c_0)=0 \end{gathered}$$
平面的点法式为$A\ast (x-x_0)+B\ast (y-y_0)+C\ast (c-c_0)=0$，其中$(A,B,C)$为平面的法线，$(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上的一点。

法线式

已知平面的法线和原点到平面的距离，求平面的方程。法线式和一般式几乎是一样的。

$\vec{n}=(A,B,C)$ ，那么 $\vec{n}$ 与xyz三个坐标轴的余弦值是多少呢？

设 $\vec{n}$ 与xyz的夹角分别为$\alpha ,\beta ,\gamma$ ，则
$$\begin{gathered} \cos \alpha =(A,B,C)\ast (1,0,0)=A \\ \cos \beta =(A,B,C)\ast (0,1,0)=B \\ \cos \gamma =(A,B,C)\ast (0,0,1)=C \\ 则\cos \alpha \ast x+\cos \beta \ast y+\cos \gamma \ast z+D=0 \\ 设p=-D,得\cos \alpha \ast x+\cos \beta \ast y+\cos \gamma \ast z=p \end{gathered}$$
平面的法线式为 $\cos \alpha \ast x+\cos \beta \ast y+\cos \gamma \ast z=p$ ，其中$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 为平面的法线，$p$ 为原点离平面的垂直距离。