数学分析复习：无穷乘积

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

无穷乘积

设复数列 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an​}n≥1​，设对任意 $n,a_n\ne 0$，称 $\prod _{n\ge 1}{a}_n$ 为无穷乘积，称 $P_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n$ 为部分积

定义：无穷乘积的收敛性

若数列 { P n } n ≥ 1 \{P_n\}_{n\geq 1} {Pn​}n≥1​ 的极限存在且不为 0 ，则称无穷乘积 $\prod _{n\ge 1}{a}_n$ 收敛，记 $\prod _{n\ge 1}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$

命题：无穷乘积的Cauchy收敛准则

$\prod _{n\ge 1}{a}_n$ 收敛当且仅当对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ ，使得对任意的 $n\ge N$，任意 $p\ge 0$，都有
$$|a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{n+p}-1|<\epsilon$$

证明思路
必要性：类似实数列的Cauchy收敛准则的证明方法
充分性：只需证 { P n } \{P_n\} {Pn​} 是 Cauchy 列（需要先证序列有界），且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n\ne 0$

正项级数和无穷乘积的联系

命题1

设 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an​}n≥1​ 是正数的数列，则下列等价

• $\prod _{n\ge 1}(1+a_n)$ 收敛
• $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛

证明思路：
（1）推（2）：$$\sum _{n=1}^k{a}_n\le \prod _{n=1}^k(1+a_n)\le \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)$$单调有界数列必收敛
（2）推（1）：$$\prod _{n=1}^k(1+a_n)\le \prod _{n=1}^k{e}^{a_k}\le exp(\sum _{n=1}^k{a}_n)\le exp(\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n)$$单调有界数列必收敛

推论
设复数列 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an​}n≥1​ ，若 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+|a_n|)$ 收敛，则 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)$ 收敛。特别地，若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)$ 收敛

证明思路
只需注意到$$|\prod _{n=k}^{k+p}(1+a_n)-1|\le \prod _{n=k}^{k+p}(1+|a_n|)-1$$

命题2
设数列 { a n } \{a_n\} {an​} 满足 $0<a_n<1$，则 $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_n)$ 收敛当且仅当 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛

证明
充分性显然
必要性：用反证法
$$\begin{array}{rl}(1-a_1)\cdots (1-a_n)& \le \frac{1}{(1+a_1)\cdots (1+a_n)}\\ & \le \frac{1}{1+a_1+\cdots +a_n}\to 0\end{array}$$从而 ${\prod }_{n=1}^{\infty }(1-a_n)=0$ ，矛盾

参考书：

• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著