数学分析复习：振荡型级数的收敛判别

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

振荡型级数的收敛判别

直观上，振荡型级数说的是级数各项有正有负，求和的时候可以相互抵消，故可能收敛

命题：Abel求和公式
设复数列 { a k } k ≥ 1 \{a_k\}_{k\geq 1} {ak​}k≥1​ 和 { b k } k ≥ 1 \{b_k\}_{k\geq 1} {bk​}k≥1​，则
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=S_n{b}_n+\sum _{k=1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$
其中 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ 表示部分和

证明
只需将 $a_k$ 替换为 $S_k-S_{k-1}$，然后合并同类项即可

注：该公式即为离散版本的分部积分公式

命题：Dirichlet判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak​},{bk​}， $S_n$ 表示 { a k } \{a_k\} {ak​} 的部分和，若

1. { b k } \{b_k\} {bk​} 是单调数列且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{b}_k=0$
2. 存在 $M$，使得对任意 $n\ge 1$，$|S_n|\le M$

则级数 $\sum _{k=1}^{a_k{b}_k}$ 收敛

证明思路（级数的Cauchy收敛准则）
不妨假设 { b k } \{b_k\} {bk​} 单调递减，由 abel 求和法，任取 $m\ge n$，有
$$\begin{array}{rl}|\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k|& =|(S_m{b}_m-S_n{b}_n)+\sum _{k=n}^{m-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\\ & \le M|b_m-b_n|+|M||\sum _{k=n}^{m-1}(b_k-b_{k+1})|\\ & =2M(b_n-b_m)<\epsilon \end{array}$$

推论：Abel判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak​},{bk​}，若

1. { b k } \{b_k\} {bk​} 单调有界
2. 级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ 收敛

则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$ 收敛

证明思路
设 $b=\underset{k\to \infty }{\lim }{b}_k$，则有
$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k(b_k-b)+b\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$$
等号右端第一个级数用Dirichlet判别法立得

参考书：

• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著