java算法day45 | 动态规划part07 ● 70. 爬楼梯 （进阶） ● 322. 零钱兑换 ● 279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例：3 2
输出示例：3
提示：
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2. 确定递推公式
   在动态规划：494.目标和 (opens new window)、 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
   本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
   那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3. dp数组如何初始化
   既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
   下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4. 确定遍历顺序
   这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
   所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
   每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5. 举例来推导dp数组

import java.util.Scanner;public class Main{public static void main(String[] args){Scanner in=new Scanner(System.in);int n=in.nextInt();int m=in.nextInt();int[] dp=new int[n+1];dp[0]=1;for(int j=1;j<=n;j++){for(int i=0;i<=m;i++){if(j>=i){dp[j]=dp[j]+dp[j-i];}}}System.out.println(dp[n]);}
}

时间复杂度：O（mn）
空间复杂度：O（n）

322. 零钱兑换

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式
   凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
   所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
   其他下标对应的数值呢？
   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
   所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
   所以本题并不强调集合是组合还是排列。
   综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5. 举例推导dp数组

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int max=Integer.MAX_VALUE;int[] dp=new int[amount+1];for(int i=0;i<dp.length;i++){dp[i]=max;}dp[0]=0;for(int i=0;i<coins.length;i++){for(int j=coins[i];j<=amount;j++){if(dp[j-coins[i]]!=max){//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);}}}return dp[amount]==max?-1:dp[amount];}
}

时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
空间复杂度: O(amount)

279.完全平方数

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2. 确定递推公式
   dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
   此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化
   dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
   有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
   看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
   非0下标的dp[j]应该是多少呢？
   从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序
   我们知道这是完全背包，
   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution {public int numSquares(int n) {int max = Integer.MAX_VALUE;int[] dp = new int[n + 1];for (int j = 0; j <= n; j++) {//初始化dp[j] = max;}dp[0]=0;for(int i=1;i*i<=n;i++){int weight=i*i;for(int j=weight;j<=n;j++){dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-weight]+1);}}return dp[n];}
}

时间复杂度: O(n * √n)
空间复杂度: O(n)