0203逆矩阵-矩阵及其运算-线性代数

一、逆矩阵的定义、性质和求法

定义7 对于$n$阶矩阵A，如果有一个$n$阶矩阵B，使

$AB=BA=E$

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。

定理1 若矩阵A可逆，则$|A|\ne 0$

$$\begin{gathered} 证明： \\ A可逆，即有A^{-1}，使得A{A}^{-1}=E \\ |A{A}^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1 \\ \therefore |A|\ne 0 \end{gathered}$$

定理2 若$|A|\ne 0$，则矩阵A可逆，且
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
其中$A^{\ast }$为矩阵A的伴随矩阵。

$$\begin{gathered} 证明： \\ 由例10知 \\ A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E \\ \because |A|\ne 0 \\ \therefore A\frac{A^{\ast }}{|A|}=\frac{A^{\ast }}{|A|}A=E \\ 按逆矩阵的定义，有矩阵A可逆，且 \\ {A}^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|} \end{gathered}$$

当$|A|=0$时，A称为奇异矩阵。哟路上面两定理知：A是可逆矩阵的充分必要条件是$|A|\ne 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论 若$AB=E(或者BA=E)，则B=A^{-1}$

逆矩阵满足下述运算规律：

1. 若A可逆，则$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$;
2. 若A可逆，输入$\lambda \ne 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
3. 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
4. 若A可逆，则$A^T$可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

当A可逆时，还可定义

$A^0=E,A^{-k}=(A^{-1}{)}^k$

其中k为正整数，这样当A可逆$\lambda ,\mu$为整数时，有

$A^{\lambda }{A}^{\mu }=A^{\lambda +\mu },(A^{\lambda }{)}^{\mu }=A^{\lambda \mu }$

例11 求二阶矩阵
$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
的逆矩阵。
$$\begin{gathered} 解： \\ |A|=ad-bc \\ A\ast =\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right) \\ 当|A|\ne 0使,A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast } \\ =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right) \end{gathered}$$

二、逆矩阵的初步应用

可逆矩阵在线性代数中占有重要的地位，它的应用是多方面的，下面举几个例子。

例13 设
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$$
求矩阵X使其满足$AXB=C$
$$\begin{gathered} 解： \\ 若A^{-1},B^{-1}存在，则 \\ C=A{A}^{-1}C{B}^{-1}B \\ 有X=A^{-1}C{B}^{-1} \\ |A|=2,|B|=1,所以A^{-1},B^{-1}存在 \\ {A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 1& 1& -1\end{array}\right),B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right) \\ X=A^{-1}C{B}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -2\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 10& -4\\ -10& 4\end{array}\right) \end{gathered}$$

例14 设
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),AP=P\Lambda ,求A^n$$

$$\begin{gathered} 解: \\ |P|=2 \\ {p}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right) \\ A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P{\Lambda }^2{P}^{-1},\cdots ,A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1} \\ \Lambda ==\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),{\Lambda }^2==\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^2\end{array}\right),\cdots ,{\Lambda }^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right) \\ {A}^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}2-2^n& 2^n-1\\ 2-2^{n+1}& 2^{n+1}-1\end{array}\right) \end{gathered}$$

设$\varphi (x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m为x的m$次多项式，A为$n$阶矩阵，记

$\varphi (A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_m{A}^m$

$\varphi (A)$为矩阵A的m次多项式。

矩阵$A^k、A^l和E$都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式$\varphi (A)和f(A)$也是可交换的，即总有

​ $\varphi (A)f(A)=f(A)\varphi (A)$

从而A的几个多项式可以像数$x$的多项式一样相乘或者分解因式。

1. 如果$A=P\Lambda P^{-1}，则A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$，从而$\varphi (A)=P{a}_{0}E{P}^{-1}+P{a}_1\Lambda P^{-1}+\cdots +P{a}_m{\Lambda }^m{P}^{-1}=P\varphi (\Lambda )P^{-1}$

2. 如果$\Lambda =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$为对角矩阵，则${\Lambda }^k=diag({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$,从而
   $$\begin{gathered} \varphi (\Lambda )=a_{0}E+a_1\Lambda +\cdots +a_m{\Lambda }^m \\ =diag(\varphi ({\lambda }_1),\varphi ({\lambda }_2),\cdots ,\varphi ({\lambda }_n)) \end{gathered}$$

例15 设
$$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 2& \\ & & -3\end{array}\right),AP=P\Lambda$$
求$\varphi (A)=A^3+2A^2-3A$
$$\begin{gathered} 解： \\ |P|=6 \\ A=P\Lambda P^{-1} \\ \varphi (A)=P\varphi (\Lambda )P^{-1},\varphi (\Lambda )=diag(\varphi ({\lambda }_1^k),\varphi ({\lambda }_2{)}^k,\cdots ,\varphi ({\lambda }_n^k)) \\ \varphi (1)=0，\varphi (2)=10,\varphi (-3)=0 \\ \varphi (A)=P\varphi (\Lambda )P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ & 10& \\ & & 0\end{array}\right)\frac{1}{|P|}{P}^{\ast } \\ 5\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p39-44.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p10.