【数据结构】哈希

unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高，是因为其底层使用了哈希结构。

1. 哈希概念

顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N)，平衡树中为树的高度，即 O($lo{g}_{2}N$)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。

如果构造一种存储结构，通过某种函数（hashFunc）使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。

当向该结构中：

• 插入元素

  根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置，并按此位置进行存放；

• 搜索元素

  对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当作元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希（散列）方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希（散列）函数，构造出来的结构称为哈希表（Hash Table）（或者散列表）。

例如：数据集合 { 1, 7, 6, 4, 5, 9 }；

哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity 为存储元素底层空间总的大小。

用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较，因此搜索的速度比较快。

问题：按照上述哈希方式，向集合中插入元素 44，会出现什么问题？

2. 哈希冲突

对于两个数据元素的关键字 $k_i$ 和 $k_j$（i != j），有 $k_i$ != $k_j$，但有：Hash($k_i$) == Hash($k_j$)，即：不同关键字通过相同哈希函数计算出相同的哈希地址，这种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。

把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

发生哈希冲突该如何处理呢？

3. 哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。

哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有 m 个地址时，其值域必须在 0 到 m - 1 之间；
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中；
• 哈希函数应该比较简单。

常见哈希函数：

1. 直接定址法（常用）

   取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash (Key) = A * Key + B；
   优点：简单、均匀
   缺点：需要事先知道关键字的分布情况；
   使用场景：适合查找比较小且连续的情况。

2. 除留余数法（常用）

   设散列表中允许的地址数为 m，取一个不大于 m，但最接近或者等于 m 的质数 p 作为除数，按照哈希函数：Hash (Key) = Key % p (p <= m)，将关键码转换成哈希地址。

3. 平方取中法（了解）

   假设关键字为 1234，对它平方就是 1522756，抽取中间的 3 位 227 作为哈希地址；
   再比如关键字为 4321，对它平方就是 18671041，抽取中间的 3 位 671（或 710）作为哈希地址；
   平方取中法比较适合：不知道关键字的分布，而位数又不是很大的情况。

4. 折叠法（了解）

   折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分（最后一部分位数可以短些），然后将这几部分叠加求和，并按照散列表表长，取后几位作为散列地址；
   折叠法适合事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数比较多的情况。

5. 随机数法（了解）

   选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 Hash (Key) = random(Key)，其中 random 为随机数函数；
   通常应用于关键字长度不等时采用此法。

6. 数学分析法（了解）

   设有 n 个 d 位数，每一位可能有 r 种不同的符号，这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布比较均匀，每种符号出现的机会均等，在某些位上分布不均匀，只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小，选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。例如：

   

   假设要存储某家公司员工登记表，如果用手机号作为关键字，那么极有可能前 7 位都是相同的，那么我们可以选择后面的四位作为散列地址，如果这样的抽取工作还容易出现冲突，还可以对抽取出来的数字进行反转（如 1234 改成 4321）、右环移位（如 1234 改成 4123）、左环移位、前两数与后两数叠加（如 1234 改成 12+34=46）等方法；
   数字分析法通常适合处理关键字位数比较多的情况。

注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突。

4. 哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列。

4.1 闭散列

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明哈希表中必然还有空位置，那么可以把 key 存放到冲突位置中的“下一个”空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢？

1. 线性探测

   比如上面的场景：

   

   现在需要插入元素 44，先通过哈希函数计算哈希地址，hashAddr 为 4，因此 44 理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为 4 的元素，即发生哈希冲突。

   线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

   • 插入

     • 通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置；

     • 如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素。

       

   • 删除

     采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索。比如删除元素 4，如果直接删除掉，44 查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。

     // 哈希表每个空间给个标记
     // EMPTY此位置空， EXIST此位置已经有元素， DELETE元素已经删除
     enum State
     {EMPTY,EXIST,DELETE
     };
     

2. 线性探测的实现

   // 注意：假如实现的哈希表中元素唯一，即key相同的元素不再进行插入
   // 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
   template<class K, class V>
   class HashTable
   {struct Elem{pair<K, V> _val;State _state;};public:HashTable(size_t capacity = 3): _ht(capacity), _size(0){for (size_t i = 0; i < capacity; ++i)_ht[i]._state = EMPTY;}bool Insert(const pair<K, V>& val){// 检测哈希表底层空间是否充足// _CheckCapacity();size_t hashAddr = HashFunc(key);// size_t startAddr = hashAddr;while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY){if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key)return false;hashAddr++;if (hashAddr == _ht.capacity())hashAddr = 0;/*转一圈也没有找到，注意：动态哈希表，该种情况可以不用考虑，哈希表中元素个数到达一定的数量，哈希冲突概率会增大，需要扩容来降低哈希冲突，因此哈希表中元素是不会存满的if(hashAddr == startAddr)return false;*/}// 插入元素_ht[hashAddr]._state = EXIST;_ht[hashAddr]._val = val;_size++;return true;}int Find(const K& key){size_t hashAddr = HashFunc(key);while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY){if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key)return hashAddr;hashAddr++;}return hashAddr;}bool Erase(const K & key){int index = Find(key);if (-1 != index){_ht[index]._state = DELETE;_size++;return true;}return false;}size_t Size()const;bool Empty() const;void Swap(HashTable<K, V, HF>& ht);private:size_t HashFunc(const K& key){return key % _ht.capacity();}private:vector<Elem> _ht;size_t _size;
   };
   

   思考：哈希表什么情况下进行扩容？如何扩容？

   

   void CheckCapacity()
   {if (_size * 10 / _ht.capacity() >= 7){HashTable<K, V, HF> newHt(GetNextPrime(ht.capacity));for (size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i){if (_ht[i]._state == EXIST)newHt.Insert(_ht[i]._val);}Swap(newHt);}
   }
   

   线性探测优点：实现非常简单；

   线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据“堆积”，即：不同关键码占据了可利用的空位置，使得寻找某关键码的位置需要多次比较，导致搜索效率降低，如何缓解？

3. 二次探测

   线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：$H_i$ = ( $H_0$ + $i^2$ ) % m。其中：i = 1, 2, 3…，$H_0$ 是通过散列函数 Hash(x) 对关键码 key 进行计算得到的位置，m 是表的大小。

   对于上面案例，如果要插入 44，产生冲突，使用二次探测解决后的情况为：

   

   研究表明：当表的长度为质数且表装载因子 a 不超过 0.5 时，新的表项一定能够插入。而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在搜索时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子 a 不超过 0.5，如果超出必须考虑增容。

因此：闭散列最大的缺陷就是空间利用率比较低，这也是哈希的缺陷。

4.2 开散列

1. 开散列的概念

   开散列法又叫链地址法（开链法），首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头节点存储在哈希表中。

   个人理解：哈希桶 = 顺序表 + 链表 + 哈希算法；

   

   

   从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。

2. 开散列实现

   template<class V>
   struct HashBucketNode
   {HashBucketNode(const V& data): _pNext(nullptr), _data(data){}HashBucketNode<V>* _pNext;V _data;
   };// 本文所实现的哈希桶中key是唯一的
   template<class V>
   class HashBucket
   {typedef HashBucketNode<V> Node;typedef Node* PNode;
   public:HashBucket(size_t capacity = 3) : _size(0){_ht.resize(GetNextPrime(capacity), nullptr);}// 哈希桶中的元素不能重复PNode* Insert(const V& data){// 确认是否需要扩容。。。// _CheckCapacity();// 1. 计算元素所在的桶号size_t bucketNo = HashFunc(data);// 2. 检测该元素是否在桶中PNode pCur = _ht[bucketNo];while (pCur){if (pCur->_data == data)return pCur;pCur = pCur->_pNext;}// 3. 插入新元素pCur = new Node(data);pCur->_pNext = _ht[bucketNo];_ht[bucketNo] = pCur;_size++;return pCur;}// 删除哈希桶中为data的元素(data不会重复)，返回删除元素的下一个节点PNode* Erase(const V& data){size_t bucketNo = HashFunc(data);PNode pCur = _ht[bucketNo];PNode pPrev = nullptr, pRet = nullptr;while (pCur){if (pCur->_data == data){if (pCur == _ht[bucketNo])_ht[bucketNo] = pCur->_pNext;elsepPrev->_pNext = pCur->_pNext;pRet = pCur->_pNext;delete pCur;_size--;return pRet;}}return nullptr;}PNode* Find(const V& data);size_t Size()const;bool Empty()const;void Clear();bool BucketCount()const;void Swap(HashBucket<V, HF>& ht;~HashBucket();private:size_t HashFunc(const V& data){return data % _ht.capacity();}private:vector<PNode*> _ht;size_t _size; // 哈希表中有效元素的个数
   };
   

3. 开散列增容

   桶的个数是一定的，随着元素的不断插入。每个桶中元素的个数不断增多，极端情况下，可能会导致一个桶中链表节点非常多，会影响哈希表的性能，因此在一定条件下需要对哈希表进行增容，那该条件怎么确认呢？开散列最好的情况是：每个哈希桶中刚好挂一个节点，再继续插入元素时，每一次都会发生哈希冲突，因此，在元素个数刚好等于桶的个数时，可以给哈希表增容。

   void _CheckCapacity(){size_t bucketCount = BucketCount();if (_size == bucketCount){HashBucket<V, HF> newHt(bucketCount);for (size_t bucketIdx = 0; bucketIdx < bucketCount; ++bucketIdx){PNode pCur = _ht[bucketIdx];while (pCur){// 将该节点从原哈希表中拆出来_ht[bucketIdx] = pCur->_pNext;// 将该节点插入到新哈希表中size_t bucketNo = newHt.HashFunc(pCur->_data);pCur->_pNext = newHt._ht[bucketNo];newHt._ht[bucketNo] = pCur;pCur = _ht[bucketIdx];}}newHt._size = _size;this->Swap(newHt);}}
   

4. 开散列的思考

   • 只能存储 key 为整型的元素，其他类型怎么解决？

     // 哈希函数采用除留余数法，被模的key必须要为整形才可以处理，此处提供将key转化为整形的方法
     // 整形数据不需要转化
     template<class T>
     class DefHashF
     {
     public:size_t operator()(const T& val){return val;}
     };// key为字符串类型，需要将其转化为整形
     class Str2Int
     {
     public:size_t operator()(const string& s){const char* str = s.c_str();unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313unsigned int hash = 0;while (*str){hash = hash * seed + (*str++);}return (hash & 0x7FFFFFFF);}
     };// 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
     template<class V, class HF>
     class HashBucket
     {// ……
     private:size_t HashFunc(const V& data){return HF()(data.first) % _ht.capacity();}
     };
     

   • 除留余数法，最好模一个素数，如何每次快速取一个类似两倍关系的素数？

     size_t GetNextPrime(size_t prime)
     {const int PRIMECOUNT = 28;static const size_t primeList[PRIMECOUNT] ={53ul, 97ul, 193ul, 389ul, 769ul,1543ul, 3079ul, 6151ul, 12289ul, 24593ul,49157ul, 98317ul, 196613ul, 393241ul, 786433ul,1572869ul, 3145739ul, 6291469ul, 12582917ul,25165843ul,50331653ul, 100663319ul, 201326611ul, 402653189ul,805306457ul,1610612741ul, 3221225473ul, 4294967291ul};size_t i = 0;for (; i < PRIMECOUNT; ++i){if (primeList[i] > prime)return primeList[i];}return primeList[i];
     }
     

5. 开散列与闭散列比较

   应用链地址法处理溢出，需要增设链接指针，似乎增加了存储开销。事实上：由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，如二次探测法要求装载因子 a <= 0.7，而表项所占空间又比指针大得多，所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。

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END