【高阶数据结构】哈希表 {哈希函数和哈希冲突；哈希冲突的解决方案：开放地址法，拉链法；红黑树结构 VS 哈希结构}

一、哈希表的概念

• 顺序结构以及平衡树

  顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系。因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为O(N)；平衡树中为树的高度，即O(log_2 N)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

• 哈希表

  如果构造一种存储结构，通过某种转换函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系。那么在查找时可以不经过任何比较，通过该函数一次直接从表中得到要搜索的元素：

  • 当向该结构中插入元素时：根据待插入元素的关键码，通过转换函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放。

  • 当从该结构中搜索元素时：对元素的关键码进行同样的计算，获得元素的存储位置。

  该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表(Hash Table或者称散列表)

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二、哈希函数和哈希冲突

• 哈希函数

  哈希函数的设计原则：

  1. 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有m个地址时，其值域必须在0到m-1之间
  2. 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中
  3. 哈希函数应该比较简单

  常见的哈希函数：

  1. 直接定址法

     取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash（Key）= A*Key + B
     优点：简单、均匀、不存在哈希冲突
     缺点：需要事先知道关键字的分布情况，只适合查找分布相对集中的情况。
     举例：1.编程题：字符串中第一个只出现一次字符 2.排序算法：计数排序

  2. 除留余数法

     设散列表中允许的地址数为m，取一个不大于m，但最接近或者等于m的质数p作为除数；

     按照哈希函数：Hash(key) = key% p(p<=m),将关键码转换成哈希地址

  例如：数据集合{1，7，6，4，5，9}；
  哈希函数采用除留余数法：hash(key) = key % capacity; capacity为存储元素底层空间的总大小。

问：按照上述哈希方式，向集合中插入元素44，会出现什么问题？

• 哈希冲突

  • 对于两个数据元素的关键字k_i和 k_j，有k_i != k_j，但有：Hash(k_i) ==Hash(k_j)；

    • 即：不同关键字通过哈希函数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。

    • 把关键码不同而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

  问：发生哈希冲突该如何处理呢？

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三、哈希冲突的解决方案

解决哈希冲突两种常见的方法是：开放地址法和链地址法

3.1 开放地址法

开放地址法：当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的下一个空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢？

3.1.1 线性探测

1. 线性探测
   比如2.2中的场景，现在需要插入元素44，先通过哈希函数计算哈希地址为4，因此44理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为4的元素，即发生哈希冲突。
   线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

   • 插入
     通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置
     如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素

   

   • 删除
     采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索。
     比如删除元素4，如果直接删除掉，44查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。
     哈希表每个空间给个标记：EMPTY此位置为空， EXIST此位置已经有元素， DELETE元素已经删除

     插入时：对于EMPTY和DELETE标记的位置可以进行插入，EXIST不能插入。

     搜索时：遇到EXIST和DELETE标记的位置继续向后搜索，遇到EMPTY结束。

   • 扩容

     思考：哈希表什么情况下进行扩容？如何扩容？

     

     载荷因子（空间占用率）达到基准值(0.7~0.8)就扩容。

     基准值越大，哈希冲突的概率越大，查找效率越低，但空间利用率越高。

     基准值越小，哈希冲突的概率越小，查找效率越高，但空间利用率越低。

   • Hash算法

     • 对于类型不匹配或者复杂类型的key值，不能直接求余计算哈希地址。这时我们需要一种算法，将不匹配或复杂类型的key转化为无符号整型，然后才能通过除留余数法计算哈希地址。我们将这样的算法称为Hash算法。

     • Hash算法的设计原则是：尽量避免出现key值不同但转换后的无符号整型相同的情况。使不同的key值转换成唯一、独特的无符号整型数据。降低哈希冲突的概率。

     • 以字符串Hash算法为例：

       • 问：为什么不选字符串首字母的assic码做key？

         答：字符的assic码共有128个，而字符串有无数种组合方式。单靠首字母的assic码区分字符串，违背了Hash算法的设计原则。会使哈希冲突的概率变大，所以我们取字符串所有字符的assic码和做key。

       • 仍然无法解决的问题：abcd acbd aadd

         最终方案：BKDR算法，在每次加和时累乘131，能使哈希冲突的概率大大降低。也是Java目前采用的字符串Hash算法。

   • 线性探测的实现

       enum State{EMPTY,DELETE,EXIST};template <class K, class V>struct HashData{pair<K,V> _kv;State _state = EMPTY;};//HashKey用于将不匹配或复杂的key值转化为size_t类型，然后才能通过除留余数法计算哈希地址。//对于不匹配的内置类型做强转：template <class K>struct HashKey{size_t operator()(const K& k){return (size_t)k;}};//对于常见复杂类型提供模版的特化：template <>struct HashKey<string>{size_t operator()(const string& str){size_t ret = 0;for(auto ch : str){ret += ch;ret *= 131; //BKDR算法}return ret;}};template <class K, class V, class Hash = HashKey<K>>class HashTable{vector<HashData<K,V>> _table;size_t _size= 0; //哈希表中的实际有效数据public:bool insert(const pair<K,V>& kv){//不允许键值冗余if(find(kv.first) != nullptr)return false;//检查载荷因子，进行扩容，复用下面的插入逻辑if(_table.size() == 0 || _size*10/_table.size() >= 7){int newsize = _table.size()==0? 10 : _table.size()*2;HashTable newHT; //创建新的哈希表对象newHT._table.resize(newsize);for(auto &e : _table){if(e._state == EXIST)newHT.insert(e._kv); //调用成员函数insert重新计算元素的映射位置}//交换两个哈希表的vector//函数返回前newHT包含扩容前的vector会被析构_table.swap(newHT._table); }Hash hash; //hash算法会将不匹配或复杂的key值转化为size_t类型int hashi = hash(kv.first)%_table.size(); //线性探测//遇到EMPTY或DELETE位置停下while(_table[hashi]._state == EXIST){++hashi;hashi %= _table.size(); //如果超出范围需折返到开头继续探测}_table[hashi]._kv = kv;_table[hashi]._state = EXIST;++_size;return true;}HashData<K,V>* find(const K& k){if(_table.size() == 0)return nullptr; //空表返回nullptrHash hash;int hashi = hash(k)%_table.size(); int start = hashi;//线性探测//遍历到EMPTY位置表示对应key值的元素不存在。//注意：遇到DELETE位置不能停，要继续向后查找。while(_table[hashi]._state != EMPTY){if(_table[hashi]._state == EXIST && _table[hashi]._kv.first == k){return &_table[hashi]; //找到返回数据地址}++hashi;hashi%=_table.size();//处理极端情况：表中元素的状态全是DELETEif(hashi == start) break;}return nullptr; //找不到返回nullptr}bool erase(const K& k){HashData<K,V>* ret = find(k);if(ret == nullptr)return false;else{//线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素ret->_state = DELETE; //所谓删除就是将对应key值的元素状态改为DELETE--_size; //记得修改大小哦return true;}}void printHT(){ //打印哈希表for(int i=0; i<_table.size(); ++i){if(_table[i]._state == EXIST){printf("[%d]:%d ", i, _table[i]._kv.first);//cout << _table[i]._kv.first << ":" << _table[i]._kv.second << endl; }else{printf("[%d]:* ", i);}}}};
   

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3.1.2 二次探测

2. 二次探测

线性探测的优点是实现非常简单，但其缺陷是元素之间相互占用位置导致产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找：H_i = (H_0 + i )% m 或 H_i = (H_0 - i )% m

因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：H_i = (H_0 + i^2 )% m, 或者 H_i = (H_0 - i^2 )% m。

其中：i =1,2,3…。 H_0是通过散列函数Hashfunc(key)对元素的关键码 key 进行计算得到的位置。m是表的大小。

• 将线性探测改为二次探测

    bool insert(const pair<K,V>& kv){if(find(kv.first) != nullptr)    return false;    //检查载荷因子，进行扩容    //......Hash hash;    int i = 1;    int hashi = hash(kv.first)%_table.size();     //二次探测while(_table[hashi]._state == EXIST){hashi += i*i; //加i的平方hashi %= _table.size();++i;}_table[hashi]._kv = kv;_table[hashi]._state = EXIST;++_size;return true;}
  

  提示：对应的find函数也应该改为二次探测才能正确运行！

  二次探测只能在一定程度上缓解线性探测带来的“洪水效应”，但其终归是占用式的，没有从根源上解决因占用而导致的冲突问题。

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3.2 链地址法

• 概念

  链地址法又叫拉链法，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。

  仍以2.2中的场景为例：

  

  从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。

• 对比哈希表和红黑树

  • 查找

    哈希表的查找更快：O(1)；红黑树的查找：O(log_2N)

    如果某个哈希桶过长（一般不会），可以考虑挂红黑树，以提高该哈希桶的搜索速度。

  • 插入

    红黑树的插入：消耗主要在查找空位置O(log_2N)+变色O(log_2N)+旋转O(1) ==> O(log_2N)。

    哈希表的插入：消耗主要在扩容，不仅要开空间拷贝数据，还要重新计算每个元素的哈希地址。扩容的时间复杂度O(N)

    使用rehash/reserve提前开空间，提高哈希表的插入效率。

unordered_map和unordered_set底层的哈希结构采用的就是开散列法。