数组中的逆序对

解题思路1：

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

public class Solution {public int InversePairs(int [] array) {if(array == null || array.length == 0){return 0;}//和array长度一样的copy数组int[] copy = new int[array.length];int count = inversePairsCore(array, copy, 0, array.length - 1);return count;}public int inversePairsCore(int[] array, int[] copy, int low, int high){if(low == high){return 0;}//计算中间下标int mid =(low + high)>>1;//中间下标int i = mid;//最大下标int j = high;//copy数组的最大下标int indexCopy = high;//获得左边数组的逆序对int leftCount = inversePairsCore(array, copy, low, mid)%1000000007;//获得右边数组的逆序对int rightCount = inversePairsCore(array, copy, mid + 1, high)%1000000007;int count = 0;while(i >= low && j > mid){if(array[i] > array[j]){//计算逆序对count += j - mid;//左边数组向左移动一位，并将值存入copy中copy[indexCopy]=array[i--];if(count >= 1000000007){count%=1000000007;}}else{//右边数组向左移动一位，并将值存入copy中copy[indexCopy]=array[j--];}indexCopy--;}//左边剩余数组存入到copy中for(; i >= low; i--){copy[indexCopy--] = array[i];}//右边剩余数组存入到copy中for(; j > mid; j--){copy[indexCopy--] = array[j];}//将排过序的数组在array中同步for(int s = low; s <= high; s++){array[s] = copy[s];}return (leftCount + rightCount + count)%1000000007;}
}