Divisibility Part1（整除理论1）

Divisibility Part1

学习本节的基础：任意个整数之间进行加、减、乘的混合运算之后的结果仍然是整数。之后将不申明地承认这句话的正确性并加以运用。

用一个不为$0$的数去除另一个数所得的商却不一定是整数（$a$除$b$，写作$\frac{b}{a}$，$a$除以$b$，写作$\frac{a}{b}$），所以我们需要引进整除的概念，这节会对整除进行深入讨论。

接下来，我们会给出定义，且给出并证明定义引申出的定理，最后对这些加以运用。

定义 $1$ 设 $a,b$ 是任意两个整数，其中 $b\ne 0$，如果存在一个整数 $q$，使得等式
$$a=bq(1)$$
成立，我们就说 $b$ 整除 $a$ 或 $a$ 被 $b$ 整除，记作 $b|a$，此时我们把 $b$ 叫做 $a$ 的因数，把 $a$ 叫做 $b$​ 的倍数。

如果 $(1)$ 里面的整数 $q$ 不存在，我们就说 $b$ 不能整除 $a$，记作 $b\nmid a$ 。

接下来从定义出发，证明一些关于整除的基本定理。

定理 $1$（传递性） 若 $a$ 是 $b$ 的倍数，$b$ 是 $c$ 的倍数，则 $a$ 是 $c$ 的倍数，也就是
$$b|a,c|b\Rightarrow a|c$$
证 由定义 $1$，可知 $b|a,c|b$，所以存在两个整数 $a_1,b_1$，使得
$$a=a_{1}b,b=b_{1}c$$
成立，因此
$$a=(a_1{b}_1)c$$
又因为 $a_1,b_1$ 是整数，所以 $c|a$。

定理 $2$ 若 $a,b$ 都是 $m$ 的倍数，那么 $a\pm b$ 也是 $m$ 的倍数。

证 $a,b$ 都是 $m$ 的倍数，所以存在两个整数 $a_1,b_1$，使得
$$a=a_{1}m,b=b_{1}m$$
$a\pm b$ 可以写作
$$a\pm b=(a_1\pm b_1)m$$
因 $a_1\pm b_1$ 是整数，故 $a\pm b$ 是 $m$ 的倍数。

同样的方法可以证明

定理 $3$ 若 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 都是 $m$ 的倍数，$q_1,q_2,\cdots ,q_n$ 是任意 $n$ 个整数，则 $q_1{a}_1+q_2{a}_2+\cdots +q_n{a}_n$ 是 $m$ 的倍数。

证 因为 $q_1{a}_1,q_2{a}_2,\cdots ,q_n{a}_n$ 是 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的倍数， $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是 $m$ 的倍数，由定理 $1$ 可得 $q_1{a}_1,q_2{a}_2,\cdots ,q_n{a}_n$ 是 $m$ 的倍数

由定理 $2$ 得 $q_1{a}_1+q_2{a}_2+\cdots +q_n{a}_n$ 是 $m$ 的倍数。

定理 $4$（带余除法） 若 $a,b$ 是任意两个整数，其中 $b>0$，则存在两个整数 $q,r$，使得
$$a=bq+r,0\le r<b(2)$$
成立，而且 $q,r$ 是唯一的。

证 作整数序列
$$\cdots ,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,\cdots$$
那么 $a$ 在这个序列的某相邻两项之间，即存在一个整数 $q$，使得
$$bq\le a<b(q+1)(3)$$
成立。令 $r=a-bq$。代入 $(3)$ 得
$$0\le r<b$$
所以存在两个整数 $q,r$ 使得 $(2)$ 成立。

下面证明 $q,r$ 的唯一性：设$q,r$ 和 $q_1,r_1$ 是满足 $(2)$ 的两对整数，则
$$\{\begin{array}{l}a=bq+r(0\le r<b)\\ a=b{q}_1+r_1(0\le r_1<b)\end{array}$$
联立得
$$bq+r=b{q}_1+r_1$$
移项
$$b(q-q_1)=r_1-r$$
由于 $r,r_1$ 的值域都是 $0\le r<b$，所以二者相减的绝对值不超过 $b$。

即
$$b|q-q_1|=|r_1-r|$$
解得
$$\{\begin{array}{l}q=q_1\\ r=r_1\end{array}$$
证毕。

整数的很多基本性质都可以从定理 $(4)$ 引导出来，本章最主要的内容都是在定理 $(4)$ 的基础上建立。

定义 $2$ $(2)$ 中的 $q$ 叫做 $a$ 被 $b$ 除所得到的不完全商，$r$ 叫做 $a$ 的余数。

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习题

一

证明定理 $3$​。

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二

证明 $3|n(n+1)(2n+1)$，其中 $n$​ 是任意整数。

题解 设 $n=3\gamma +r$ $(0\le r<3)$ 得

​ $n(n+1)(2n+1)=(3\gamma +r)(3\gamma +r+1)(6\gamma +2r+1)$

1. 当 $r=1$，那么 $2r+1=3$ ，又 $3|6\gamma ,3|3$ 所以 $3|(6\gamma +2r+1)$

所以，$3|n(n+1)(2n+1)$。

2. 当 $r=2$，那么 $r+1=3$，又 $3|3\gamma ,3|3$ 所以 $3|(3\gamma +r+1)$

所以，$3|n(n+1)(2n+1)$。

3. 当 $r=0$，$3|n$，所以 $3|n(n+1)(n+1)$。

证毕。

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三

若 $a{x}_0+b{y}_0$ 是形如 $ax+by$ $($ $x,y$ 是任意整数，$a,b$ 是两个不全为零的整数$)$​ 的数中最小的正整数，证明
$$(a{x}_0+b{y}_0)|(ax+by)$$
题解 设
$$ax+by=q_1(a{x}_0+b{y}_0)+r_1(0\le r_1<a{x}_0+b{y}_0)$$
可得
$$r_1=a(x-q_1{x}_0)+b(y-q_1{y}_0)$$
$r_1$ 满足 $ax+by$ 的形式，而 $a{x}_0+b{y}_0$ 是形如 $ax+by$ 的数中最小的正整数，设$(a{x}_0+b{y}_0)$为 $d$。

所以，$r_1$ 是 $d$ 的倍数，设 $r=q_{2}d$，那么$ax+by=q_{1}d+q_{2}d$。

显然 $d|(ax+by)$。

证毕。

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四

若 $a,b$ 是任意两个整数，且 $b\ne 0$，证明：存在两个整数 $s,t$ 使得
$$a=bs+t,|t|\le \frac{|b|}{2}$$
成立，并且当 $b$ 是奇数的时候，$s,t$ 是唯一存在的，当 $b$ 是偶数的时候，结果如何？

题解 由定理 $4$ 可知，对任意整数 $a,b$ 都有
$$a=qb+r,0\le r<|b|$$

1. $b$ 是正数

若 $r\le \frac{b}{2}$，则 $s=q,t=r$。

若 $r\ge \frac{b}{2}$ ，则 $a=(q+1)b+(r-b)$，显然 $|r-b|<\frac{b}{2}$，$s=q+1,t=r-b$​

2. $b$ 是负数

若 $r\le |\frac{b}{2}|$，则 $s=q,t=r$。

若 $r\ge |\frac{b}{2}|$，则$a=(q-1)b+(r+b)$，显然$|r+b|<\frac{b}{2}$，$s=q-1,t=r+b$

当 $b$ 为奇数，$\frac{b}{2}$ 向下取整，不存在$r=\frac{b}{2}$， $s$ 只能取 $q$ 或 $q-1$ 或 $q+1$ 中的一个。

当 $b$ 为偶数，存在 $r=\frac{b}{2}$，所以当 $r=\frac{b}{2}$时， $s$ 既能取 $q$，又能取 $q-1$ 或 $q+1$ 。

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五

检查一个整数 $n$ 是否能被 $3$​ 整除。

题解

对于任意一个整数 $n$，都可以写成：
$$n=a_0\times 10^0+a_1\times 10^1+\cdots +a_n\times 10^n$$
已知 $10^i$ 除以 $3$ 的余数是 $1$，所以 $a_i\times 10^i$ 除以 $3$ 的余数等价于 $a_i$ 除以 $3$ 的余数。

那么 $n$ 除以 $3$ 的余数，等价于 ${\sum }_{i=1}^{n}a[i]$ 除以 $3$ 的余数。

所以 $n$ 能被 $3$ 整除，等价于 ${\sum }_{i=1}^{n}a[i]$ 能被 $3$ 整除。

证毕。

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六

检查一个整数 $n$ 是否能被 $4$​ 整除。

题解

对于任意一个整数 $n$，都可以写成：
$$n=a_0\times 10^0+a_1\times 10^1+\cdots +a_n\times 10^n$$
已知 $10$ 除以 $4$ 的余数是 $2$，已知 $10^i$ $(i\ge 2)$除以 $4$ 的余数是 $0$。

所以 $n$ 除以 $4$ 的余数取决于于 $a_0+a_1\times 10^1$ 除以 $4$ 的余数。

如果 $a_0+a_1\times 10^1$ 除以 $4$ 的余数是 $0$，那么 $n$ 能被 $4$ 整除

换句话说，$n$ 是否能被 $4$ 整除，取决于 $n$ 的最后两位能否被 $4$ 整除。

证毕。

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七

检查一个整数 $n$ 是否能被 $6$​ 整除。

题解

先检查最后一位数是否是偶数（是否能被 $2$ 整除），再利用第五题的结论，检查是否被 $3$ 整除。

证毕。

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八

检查一个整数 $n$ 是否能被 $7$ 整除。

同余做法

等价于直接判断 $nmod7$ 是否为 $0$。

方法是将数字读入到字符串内，然后从最高位开始对 $7$ 取模然后乘以 $10$，再下一位。

最后得到的数为 $0$，就说明是 $7$ 的倍数。

时间复杂度 $O(n)$ （$n$ 代表数位个数）。

这个方法是通用的，如果时间复杂度允许 $7$ 可以换成任意的数。

string s;
cin >> s;
int now = 0;
for (int j = 0; j < s.size(); j++) {now = now * 10 + (s[j] - '0');now %= 7;
}
if(now == 0) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;