【数据结构（邓俊辉）学习笔记】二叉树04——Huffman树

0. 概述

学习Huffman树。

1. 无前缀冲突编码

在加载到信道上之前，信息被转换为二进制形式的过程称作编码（encoding）；反之，经信道抵达目标后再由二进制编码恢复原始信息的过程称作解码（decoding）。

编码和解码的任务分别由发送方和接收方分别独立完成，故在开始通讯之前，双方应已经以某种形式，就编码规则达成过共同的约定或协议。

解码策略——前缀无歧义编码PFC(prefix-free code)：按顺序对信息比特流做子串匹配的策略，因此为消除匹配的歧义性，任何两个原始字符所对应的二进制编码串，相互都不得是前缀。

利用二叉编码树方法可解决消息解码歧义问题，可以使通讯双方交换信息，进行沟通。

2. 编码成本

接下来讨论新的问题——如何使编码更有效？ 首先来看如何对编码长度做“度量”。

字符x的编码长度|rps(x)|就是其对应叶节点的深度depth(v(x))。

上图都是对四个字符MAIN同一编码表的三种编码方式——左中右。它们的编码长度是不一样的，发送MAIN单词，左边占9bit，中间占8bit，右边占9bit，中间的编码长度相对较优，需要这么较劲吗？会影响到带宽、费用、成本和用户体验。

问题关键点——怎么才能编程最优编码方式呢？

通过观察不难得出，树结构越平衡越好——杜绝树中节点深度差过大（大于等于2）。再接着问，如何让树变的平衡呢？

结论：

1. 最优二叉编码树必为真二叉树：内部节点的左、右孩子全双。
2. 最优编码树中，叶节点位置的选取有严格限制——其深度之差不得超过1。

叶子只能出现在倒数两层内——否则，通过节点交换可以。

3. 带权编码成本

以上最优编码树算法的实际应用价值并不大，除非中各字符在文本串中出现的次数相等。因此需面对一个事实——词频差异很大，这种情况下，完全树未必就是最优编码树，如上图，应该从另一角度更为准确地衡量平均编码长度。

总结：让频率更高的字符放在树高处，让频率更低的字符放在树的低处。

4. 编码算法

结论：尽管贪心策略未必总能得到最优解，但非常幸运，如上算法的确能够得到最优编码树之一。

5. 算法实现流程

• 总体框架
  
• 最小超字符

• 构造编码表
  

6. 时间复杂度与改进方案