算法的时间复杂度（详解）

前言：

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果

一、算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

复杂度在校招中的考察

常见复杂度对比

 

二、时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O(N^2)

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

三、常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

注：O(1)代表常数次

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

我们分析一下

while (*str)
{if (*str == charcter)return str;else++str;
}

基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

实例5： 

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了N*(N-1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

实例6:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n - 1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x)begin = mid + 1;else if (a[mid] > x)end = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}

分析二分查找的时间复杂度： 

查找区间的变化：

N
N/2 
N/4
N/8
…… 

1

二分查找什么情况下最坏?查找区间只剩一个数，或者找不到，也就是：N/2/2…/2 = 1

查找了多少次，就是除了多少个2，假设查找了x次 2^x = N

那么查找次数为：x=logN（底数忽略不写）

则时间复杂度: O(logN)

因为写的时候需要支持专业公式，否则不好写底数，时间复杂度当中，为了方便，logN可以省略底数直接写成logN，其他底层不能省略(其他底数也很少出现)

实例7:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

递归时间复杂度：所有递归调用次数累加（等差数列） 

通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

如下图所示：每次递归都是以2倍的形式增长，累加求和，我们可以使用等比数列错位相减法

  

计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

这种算法基本上是废了，只有理论意义，实践中太慢了。 

四、复杂度的OJ练习

1.消失的数字

OJ链接：消失的数字

 

思路一：先排序，再依次查找，如果下一个值不等于前一个+1，下一个值就是消失数字，如果我们使用冒泡排序进行排序，就不符合题目要求了，因为它的时间复杂度是O(N^2)

思路二：求和0到N，再依次减去数组中的值，剩下的那个值就是消失数字，累加的时间复杂度为O(N)，如果N的数字比较大可能会导致栈溢出。

代码如下：

思路三：我们可以使用异或，把数组中0到N的元素全部异或起来，相同为0相异为1，最后那个数字就是消失的数字，这样还可以防止栈溢出

代码如下：

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int x = 0;int N = numsSize;for(int i = 0;i<numsSize;i++){x^=nums[i];}for(int j = 0;j<=numsSize;j++){x^=j;}return x;
}

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2.轮转数组

 OJ链接：轮转数组

思路一：先写出旋转一次的函数，在调用k次，k的真实旋转次数为k%=numsSize

代码如下：

但是超出时间限制了

我们分析一下：

最坏情况 ：k%N等于N-1 -> O(N^2)

最好情况：k%N等于0

时间复杂度为O(N^2)

思路二：我们使用三段逆置，我们先让前n-k个逆置一下，然后再把后k个逆置一下，最后整体逆置。

代码如下：

void reverse(int*a,int left,int raght)
{while(left < raght){int temp = a[left];a[left] = a[raght];a[raght] = temp;++left;--raght;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) 
{k %= numsSize;reverse(nums,0,numsSize-k-1);reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);reverse(nums,0,numsSize-1);
}

时间复杂度为O(N)，我们也可以使用memcpy

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总结

时间复杂度是衡量算法执行效率的重要指标，它表示算法随输入数据规模增长时执行时间的变化趋势。优化时间复杂度可以节省计算资源、提高系统性能、满足实时性要求，并提升用户体验。在设计算法时，应充分考虑时间复杂度的优化，以实现高效、稳定的性能表现。