Dijkstra求最短路篇二(全网最详细讲解两种方法,适合小白)(python,其他语言也适用)
前言:
Dijkstra算法博客讲解分为两篇讲解,这两篇博客对所有有难点的问题都会讲解,小白也能很好理解。看完这两篇博客后保证收获满满。
第一篇博客讲解朴素Dijkstra算法Dijkstra求最短路篇一(全网最详细讲解两种方法,适合小白)(python,其他语言也适用),本篇博客讲解堆优化Dijkstra算法,两中算法思路大体相同,但时间复杂度有所区别。
- 朴素Dijkstra算法:时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 堆优化Dijkstra算法:时间复杂度 O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn)
两篇博客给出的题目内容一样,只有数据规模不一样。
题目:
题目链接:
850. Dijkstra求最短路 II
给定一个 n 个点 m 条边的有向图,图中可能存在重边和自环,所有边权均为非负值。请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离,如果无法从 1 号点走到 n 号点,则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边,边长为 z。
输出格式
输出一个整数,表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在,则输出 −1。
数据范围(两题不同处)
1 ≤ n , m ≤ 1.5 × 1 0 5 1≤n,m≤1.5×10^5 1≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 0,且不超过 10000。
数据保证:如果最短路存在,则最短路的长度不超过 1 0 9 10^9 109。
输入样例:
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例:
3
思路:
算法分析:
依旧是Dijkstra算法求解,不同的是本题需要降低时间复杂度。
对朴素Dijkstra算法时间复杂度分析可知:
- 寻找路径最短的点: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 加入集合S: O ( n ) O(n) O(n)
- 更新距离: O ( m ) O(m) O(m)
- 所以总的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
所以我们需要对寻找路径最短的点进行改变,如何降低找最短距离的点的时间复杂度呢?
这里可以使用最小堆进行优化(也就是优先队列),对优先队列不太熟悉的可以看看优先队列这篇博客,其他博主写的很详细这里我就不介绍了。
进行优化后时间复杂度分析如下:
- 寻找路径最短的点: O ( n ) O(n) O(n)
- 加入集合S: O ( n ) O(n) O(n)
- 更新距离: O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn)
堆的数据结构大家接触的可能有点少,python中有专门的库函数可以直接使用,其他语言也有类似的库函数可以使用。
构造邻接表:
首先对数据进行存储,图的存储有两种方式,一种是邻接表,一种是邻接矩阵。题目中的数据规模用邻接表存储(本题数据规模是稀疏图)。
为什么要用邻接表去存贮,而不是邻接矩阵?
我们采用邻接矩阵还是采用邻接表来表示图,需要判断一个图是稀疏图还是稠密图。稠密图指的是边的条数|E|接近于|V|²,稀疏图是指边的条数|E|远小于于|V|²(数量级差很多)。本题是稠密图,显然稠密图用邻接矩阵存储比较节省空间,反之用邻接表存储。
邻接表存储就不需要注意重边和自环了,因为算法会自动算出最优解
邻接矩阵存储代码如下:
n, m = map(int, input().split()) # 图的节点个数和边数
# 构建邻接表
num = [[] for i in range(n + 1)]
for _ in range(m):a, b, c = map(int, input().split())num[a].append((b, c)) # 无需考虑重边和自环
以题目实例为例,打印num数组
[[], [(2, 2), (3, 4)], [(3, 1)], []]
邻接表构建完成之后就要进行Dijkstra算法,这里直接给出代码,用详细代码给大家进行讲解。整体思路跟朴素Dijkstra算法大致相同
代码及详细注释:
import heapqn, m = map(int, input().split()) # 图的节点个数和边数
# 构建邻接表
num = [[] for i in range(n + 1)]
for _ in range(m):a, b, c = map(int, input().split())num[a].append((b, c)) # 无需考虑重边和自环
dist = [float("inf") for _ in range(n + 1)] # float("inf")在python中是无限大的意思
dist[1] = 0 # 源点到源点的距离为置为 0
state = [False for i in range(n + 1)] # state 用于记录该点的最短距离是否已经确定def dijstra():# 这里heap中为什么要存两个值呢,首先小根堆是根据距离来排的,所以有一个变量要是距离,# 其次在从堆中拿出来的时候要知道知道这个点是哪个点,不然怎么更新邻接点呢?所以第二个变量要存点。heap = [(0, 1)] # 首先放入距离0和点1,这个顺序不能倒,这里显然要根据距离排序while heap:distance, i = heapq.heappop(heap) # 这里是取出最下距离和对应的点,最小堆自动取出最小值if state[i]: # 如果该点最短距离已经确定,跳过下面操作continuestate[i] = True # 标记该点距离确定for j, d in num[i]: # 循环遍历找点i所能到的点和其距离if dist[j] > distance + d: # 如果原本点j到源点的距离大于后续计算出来的值dist[j] = distance + d # 更新heapq.heappush(heap, (dist[j], j)) # 该点距离和点加入到最小堆中# 判断最后一个点的最短距离是否找到,如果为无穷大,则表示未找到,返回-1,否则返回最短距离dist[-1]if dist[n] == float("inf"):return -1else:return dist[n]print(dijstra())
朴素Dijkstra算法大家理解好了本算法也很好理解,操作都是一样,只是在寻找路径最短的点时用了最小堆操作。这里就不拿实例带大家过了,如果略微有点懵,大家可以自己拿实例数据过一遍。
本题主要对 Python 中的 heapq 库进行简略讲解。
import heapqheap = []
heapq.heappush(heap, (1, 2))
heapq.heappush(heap, (1, 3))
heapq.heappush(heap, (2, 1))
heapq.heappush(heap, (2, 0))
heapq.heappush(heap, (0, 2))
heapq.heappush(heap, (0, 0))print("初始状态", heap)
print("删除的元素", heapq.heappop(heap))
print("删除后状态", heap)
运行结果:
初始状态 [(0, 0), (1, 2), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (2, 1)]
删除的元素 (0, 0)
删除后状态 [(0, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 0), (1, 3)]
- heapq.heappush((heap, (1, 2)):把元素(1,2)加入到堆 heap中(每次加入后都是最小堆的构建形式)。
- heapq.heappop(heap):弹出堆顶元素(最小堆的堆顶就是最小元素)。
总结:
堆优化版dijkstra适合稀疏图
思路:
堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化,在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离
最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。
- 一号点的距离初始化为零,其他点初始化成无穷大。
- 将一号点放入堆中。
- 不断循环,直到堆空。每一次循环中执行的操作为:
弹出堆顶(与朴素版diijkstra找到S外距离最短的点相同,并标记该点的最短路径已经确定)。
用该点更新临界点的距离,若更新成功就加入到堆中。
时间复杂度分析
- 寻找路径最短的点: O ( n ) O(n) O(n)
- 加入集合S: O ( n ) O(n) O(n)
- 更新距离: O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn)
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