离散数学笔记_第一章:逻辑和证明(3)
1.3 命题等价式
- 1.3.1 逻辑等价式
- 1.3.2 条件命题和双条件命题的逻辑等价式
- 1.3.3 德·摩根律
- 1.3.4 可满足性
- 可满足的
- 不可满足的
- 可满足性问题的解
- 1.3.5析取范式(基本积之和),合取范式(基本和之积)
- 1.3.6合式公式
- 1.定义
- 2.等价转换成主析(合)取范式
1.3.1 逻辑等价式
定义1
永真式(重言式): 一个真值永远为真的复合命题。(无论其中出现的命题变量的真值是什么)
矛盾式(永假式): 一个真值永远为假的复合命题。
可能式: 既不是永真式也不是矛盾式的复合命题。
永真和矛盾的例子:
| p∧¬p | p∨¬p |
|---|---|
| 矛盾 | 永真 |
定义2
逻辑等价: 如果p↔q是永真式,则复合命题p和q称为是逻辑等价的。记作p≡q 或 p⇔q
注意不要写成等号 " = " !
注:符号 ≡ 和 ⇔ 不是逻辑联结词,p≡q 不是一个复合命题,而是代表 “p↔q是永真式” 这个语句
| 等价式 | 名称 |
|---|---|
| p∧T ≡ p ;p∨F ≡ p | 恒等律 |
| p∨T ≡ T ; p∧F ≡ F | 支配律 |
| p∨p ≡ p ;p∧p ≡ p | 幂等律 |
| ¬( ¬p) ≡ p | 双重否定律 |
| p∨q ≡ q ∨ p ;p∧q ≡ q ∧ p | 交换律 |
| (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ; (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) | 结合律 |
| p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ;p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) | 分配律(改变优先级) |
| ¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q ;¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q | 德·摩根律(去括号) |
| p ∨(p ∧ q) ≡ p ; p ∧(p ∨ q) ≡ p | 吸收律 |
| p∧¬p ≡ F ;p∨¬p ≡ T | 否定律 |
1.3.2 条件命题和双条件命题的逻辑等价式
→ ≡ ¬ ∧ ∨
| 条件命题的逻辑等价式(常用) |
|---|
| p → q ≡ ¬ p ∨ q |
| p → q ≡ ¬ q → ¬ p (原命题 ≡ 逆否命题 ) |
| (p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q∧ r) |
| (p → q) ∨ (p → r) ≡ p → (q∨ r) |
| 双条件命题的逻辑等价式 |
|---|
| p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) |
| ¬( p ↔ q) ≡ p ↔ ¬ q |
| p ↔ q ≡ ¬ p ↔ ¬ q |
| p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) |
1.3.3 德·摩根律
德·摩根律 (De Morgan’s law)
| 德·摩根律 | |
|---|---|
| ¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q | ≡ p ↑ q |
| ¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q | ≡ p ↓ q |
德·摩根律告诉我们如何取合取、析取的否定。
1.3.4 可满足性
可满足的
一个复合命题是可满足的,当且仅当存在一个对其变量的真值赋值使其为真。(即当它是一个永真式or可满足式时)
不可满足的
一个复合命题是不可满足的,当且仅当它的否定是可满足的。
可满足性问题的解
当我们找到一个特定的使得复合命题为真的真值赋值时(就证明了它是可满足 的),这样的一个赋值称为这个特定的可满足问题的一个解
1.3.5析取范式(基本积之和),合取范式(基本和之积)
1.3.6合式公式
1.定义
命题逻辑的合式公式 (wff, well‐formed formula)
• 1)一个命题变量 p 是一个 wff;
• 2)若 A 是 wff,则 (¬A) 也是 wff;
• 3)若 A, B 是 wff,则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 也是wff;
• 4)当且仅当有限次使用上述规则得到的公式才是 wff。
上述定义是归纳定义:1)是归纳基始,2) 3)是归纳步,4)是最小化规则
命题逻辑的合式公式简称为公式或命题公式 。
⌛一般一个命题公式的真值是不确定的,只有当用确定的命题去取代命题
公式中的命题变元(变元 = 变量),或对命题变元进行真值指派时,命题公式才成为具有确定真值的命题。所以, 命题公式不是命题。
2.等价转换成主析(合)取范式
任何命题公式都可以等价地转换成它的主析取范式,也可以等价地转换成它的主合取范式
┐((P→Q)∧(R→P))∨┐((R→┐Q)→┐P)
≡ ┐((┐P∨Q)∧(┐R∨P))∨┐(┐(┐R∨┐Q)∨┐P)
≡ (┐(┐P∨Q)∨┐(┐R∨P))∨(┐┐(┐R∨┐Q)∧┐┐P)
≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨((┐R∨┐Q)∧P)
≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨(┐R∧P)∨(┐Q∧P)
≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(R∧Q∧┐P)∨(R∧┐Q∧┐P)∨
∨(┐R∧Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P)∨(R∧┐Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P)
≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)
≡ m5∨m4∨m3∨m1∨m6 (主析取范式)
≡ M0∧M2∧M7 (主合取范式)
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