离散数学笔记_第一章：逻辑和证明（3）

1.3.1 逻辑等价式

定义1

永真式（重言式）： 一个真值永远为真的复合命题。（无论其中出现的命题变量的真值是什么）
矛盾式（永假式）： 一个真值永远为假的复合命题。
可能式： 既不是永真式也不是矛盾式的复合命题。

永真和矛盾的例子：

p∧¬p	p∨¬p
矛盾	永真

定义2

逻辑等价： 如果p↔q是永真式，则复合命题p和q称为是逻辑等价的。记作p≡q 或 p⇔q

注意不要写成等号 " = " !

注：符号 ≡ 和 ⇔ 不是逻辑联结词，p≡q 不是一个复合命题，而是代表 “p↔q是永真式” 这个语句

等价式	名称
p∧T ≡ p ；p∨F ≡ p	恒等律
p∨T ≡ T ； p∧F ≡ F	支配律
p∨p ≡ p ；p∧p ≡ p	幂等律
¬( ¬p) ≡ p	双重否定律
p∨q ≡ q ∨ p ；p∧q ≡ q ∧ p	交换律
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ； (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)	结合律
p ∨ （q ∧ r） ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ；p ∧ （q ∨ r） ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)	分配律（改变优先级）
¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q ；¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q	德·摩根律（去括号）
p ∨(p ∧ q) ≡ p ； p ∧(p ∨ q) ≡ p	吸收律
p∧¬p ≡ F ；p∨¬p ≡ T	否定律

1.3.2 条件命题和双条件命题的逻辑等价式

→ ≡ ¬ ∧ ∨

条件命题的逻辑等价式（常用）
p → q ≡ ¬ p ∨ q
p → q ≡ ¬ q → ¬ p (原命题 ≡ 逆否命题 )
(p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q∧ r)
(p → q) ∨ (p → r) ≡ p → (q∨ r)

双条件命题的逻辑等价式
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
¬( p ↔ q) ≡ p ↔ ¬ q
p ↔ q ≡ ¬ p ↔ ¬ q
p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

1.3.3 德·摩根律

德·摩根律 （De Morgan’s law）

德·摩根律
¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q	≡ p ↑ q
¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q	≡ p ↓ q

德·摩根律告诉我们如何取合取、析取的否定。

1.3.4 可满足性

可满足的

一个复合命题是可满足的，当且仅当存在一个对其变量的真值赋值使其为真。（即当它是一个永真式or可满足式时）

不可满足的

一个复合命题是不可满足的，当且仅当它的否定是可满足的。

可满足性问题的解

当我们找到一个特定的使得复合命题为真的真值赋值时（就证明了它是可满足 的），这样的一个赋值称为这个特定的可满足问题的一个解

1.3.5析取范式（基本积之和），合取范式（基本和之积）

1.3.6合式公式

1.定义

命题逻辑的合式公式 (wff, well‐formed formula)

• 1)一个命题变量 p 是一个 wff；
• 2)若 A 是 wff，则 (¬A) 也是 wff；
• 3)若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 也是wff；
• 4)当且仅当有限次使用上述规则得到的公式才是 wff。

上述定义是归纳定义：1)是归纳基始，2) 3)是归纳步，4)是最小化规则
命题逻辑的合式公式简称为公式或命题公式 。

⌛一般一个命题公式的真值是不确定的，只有当用确定的命题去取代命题
公式中的命题变元（变元 = 变量），或对命题变元进行真值指派时，命题公式才成为具有确定真值的命题。所以， 命题公式不是命题。

2.等价转换成主析（合）取范式

任何命题公式都可以等价地转换成它的主析取范式，也可以等价地转换成它的主合取范式

┐((P→Q)∧(R→P))∨┐((R→┐Q)→┐P)

≡ ┐((┐P∨Q)∧(┐R∨P))∨┐(┐(┐R∨┐Q)∨┐P)
≡ (┐(┐P∨Q)∨┐(┐R∨P))∨(┐┐(┐R∨┐Q)∧┐┐P)
≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨((┐R∨┐Q)∧P)
≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨(┐R∧P)∨(┐Q∧P)
≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(R∧Q∧┐P)∨(R∧┐Q∧┐P)∨
　　∨(┐R∧Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P)∨(R∧┐Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P)
≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)
≡ m5∨m4∨m3∨m1∨m6 (主析取范式)
≡ M0∧M2∧M7 (主合取范式)