动手学深度学习【2】——softmax回归

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注：本部分只对基础知识进行简单的介绍并附上完整的代码实现，更多内容可参考上述网址。

前言

前面一节我们谈到了线性回归，它解决的是预测某个值的问题。但是在日常生活这，除了预测某个值，我们也关注一些分类问题，如：某张图像的内容是猫还是狗。

本节介绍的softmax回归它得到的值就是一串概率值，表示当前内容属于某个分类的概率。

简述

分类问题

假设这里有一个2 * 2的灰度图像，我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征x1,x2,x3,x4。 此外，假设该图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

在以上列子中，我们使用独热编码(one-hot encoding)来表示对应的类别。 独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。 类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。 在我们的例子中，标签y将是一个三维向量， 其中(1,0,0)对应于“猫”、(0,1,0)对应于“鸡”、(0,0,1)对应于“狗”。以猫为例子，(1,0,0)意味着如果输入的图像是猫，那么只有猫对应的那个分量为1，其他都是0。这个其实也就是真实标签的表示方式。此时y表示为：

网络架构

softmax回归也是一种全连接层：
全连接层特点：输出层的每个元素跟输入层的每个元素有关。

用公式描述为：

向量形式为：

softmax运算

思路：我们想要网络的输出表示的是该输入数据属于某个类的概率，然后选择概率最大的为输入数据的种类。 例如，如果预测的y1，y2，y3分别为0.1,0.8,0.1，那么我们预测的类别就是类别2了，因为它的概率最大。
实现：

softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。
为什么需要规范化？因为我们要将输出数据看出概率，而这些数据可能为负值，这是不符合概率的性质的，而且我们需要限制输出数据的综合为1才好根据概率的大小来判断种类。
最后通过找到概率最大的类别就是我们所求的：

小批量样本矢量化

跟之前一样，我们不可能一次性将所有的数据加进来训练，这需要很大的内存开销，因此我们每次读取一部分。公式为：

其中X的特征维度为d，输入的批量大小为n，输出有q个类别。

损失函数

我们使用最大似然估计，跟线性回归部分一样。
softmax函数给出了一个向量y^， 我们可以将其视为“对给定任意输入
的每个类的条件概率”。
似然估计为：

根据最大似然估计，我们需要最大化上述式子，也就是最小化负对数似然：


这里的损失函数是交叉熵损失。
需要注意，这里的真实标签向量y是一个独热编码，也就是说除了跟输入数据类型一样的那个位置的值为1，其他都是0，所以最后这个损失函数就变成了预测标签的负对数。

softmax及其导数

将损失函数展开，log里面的y^可以用softmax函数展开，如下所示：

对应未规范的预测oj的偏导数为：

交叉熵损失

谈到熵，就需要说起信息论了。信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。
熵的定义：信息论中熵的定义为：

它是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。
信息量：

上述式子可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，当p=1时，信息量为0，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。

审视交叉熵：
主观概率为Q的观察者在看到根据概率P生成的数据时的预期惊异。

代码

这里所面对的具体任务为：使用softmax回归对Fashion-MNIST数据集进行训练，并在其测试集上验证效果。
导入相关包：

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l
from IPython import display

1.准备数据集

对于任何一个任务，第一步肯定是准备数据集。
首先小试牛刀，使用几条语句进行测试，如下：

# 读取数据集
## tensor转换器，除以255进行归一化，使像素值范围在0-1
trans = transforms.ToTensor()
## 训练集
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/kaggel/output/data", train=True, transform=trans, download=True)
## 测试集
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/kaggel/output/data", train=False, transform=trans, download=True)

该语句使用了Pytorch中自带的加载数据的函数，它会从网上下载相关数据集，并对这些数据进行处理，如上面的trans处理，将数据都变成tensor并归一化。
然后定义一个返回数字标签对应的文本标签，这是之后得到预测的标签所需要的。

# 返回数字标签对应的文本标签
def get_fashion_mnist_labels(labels):# 文本标签text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat','sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']# 返回数字标签对应的文本标签return [text_labels[int(i)] for i in labels]

接着如果想可视化这些数据，可以由如下方法实现：

# 可视化样本
def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):# 图的大小figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)# 表示切割成num_rows行*num_cols列的子图像_, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)axes = axes.flatten()for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):if torch.is_tensor(img):# 图片张量ax.imshow(img.numpy())else:# PIL图片ax.imshow(img)# 设置坐标轴是否可见ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)if titles:# 设置标题ax.set_title(titles[i])return axes# X是返回的图像,y是这些图像对应的标签
X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
# 因为X大小为(18,1,28,28),需要将它转换
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

读取数据后，我们就需要将这些数据加载出来，这里我们使用如下语句：

def get_dataloader_workers():  """使用4个进程来读取数据"""return 4
train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers())

最终读取数据集的函数为：

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/kaggel/output/data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="/kaggel/output/data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))

该函数的作用为获得训练集和测试集，内容综合了上面所讨论的部分。首先是获得数据集，然后使用data.DataLoader将这些数据分别加载到训练集和测试集当中。
我们还可以使用d2l中自带的一个方法来实现加载数据，代码如下：

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
# 使用d2l中的部分
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

2.定义softmax函数

按照前面的公式计算即可，但需要注意是对行求和，轴0代表列，轴1代表行。

def softmax(X):X_exp = torch.exp(X)# 这里对每行进行求和,因为每一行是一个样本partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

3.定义损失函数和网络结构

损失函数：根据前面提到的，我们使用的是交叉熵损失，且需要注意：真实标签y是一个独热编码，除了对应的一个位置为1，其实都是0，因此交叉熵损失就变成了该位置时预测概率的负对数。
网络结构：根据之前提到的，网络结构为一个全连接层，用公式表示就是：wx+b。
故代码为：

def cross_entropy(y_hat, y):return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
def net(X):return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

4.精度的计算

精度就是预测正确的个数和总的个数的比值。因此我们首先需要计算出预测正确的数量。这里需要注意的是预测的值和真实值的数值类型一致，因为使用了了==符号来判断哪些部分是预测正确的，哪些是不正确的。

"""计算预测正确的数量"""
def accuracy(y_hat, y): if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())

然后计算精度，代码如下：

def evaluate_accuracy(net, data_iter): """计算在指定数据集上模型的精度"""if isinstance(net, torch.nn.Module):net.eval()  # 将模型设置为评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数with torch.no_grad():for X, y in data_iter:# y.numel()返回y中元素的个数 metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())return metric[0] / metric[1]

这里我们使用了一个类来存储预测正确的个数以及总的个数，该类的定义为：

"""在n个变量上累加"""
class Accumulator: def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def reset(self):self.data = [0.0] * len(self.data)def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]

5.准备训练

首先我们先考虑单个epoch时的训练，整体流程如下：

• 循环取出输入数据X和数据的标签y
• 将输入数据X输入到神经网络中得到预测的标签y^
• 计算真实标签和预测标签的损失
• 根据损失进行后向传播

同时我们还返回了训练精度和训练损失。
代码如下：

# 训练代码
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater): # 将模型设置为训练模式if isinstance(net, torch.nn.Module):net.train()# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数metric = Accumulator(3)for X, y in train_iter:# 计算梯度并更新参数y_hat = net(X)# print(y_hat)l = loss(y_hat, y)if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数updater.zero_grad()l.mean().backward()updater.step()else:# 使用定制的优化器和损失函数l.sum().backward()updater(X.shape[0])metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())# 返回训练损失和训练精度return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

需要注意的时，这里的参数更新器分成了两种情况，一种情况下使用了l.mean，而另一种使用了l.sum()，这是因为所使用的框架不同导致的。前者使用的是Pytorch框架里面的，而后者是d2l里面的。

单个epoch部分完成后，就可以顺利过渡到这个过程了，其实就是遍历所有的epoch就行，代码如下：

# 训练整个模型
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])for epoch in range(num_epochs):train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)print(train_metrics)test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))train_loss, train_acc = train_metrics
#     print(train_loss)assert train_loss < 0.5, train_lossassert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_accassert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

这里为了方便可视化，还加入了另外一个类，用于更新展示的图像，实现如下：

# 动画函数
"""在动画中绘制数据"""
class Animator: def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,figsize=(3.5, 2.5)):# 增量地绘制多条线if legend is None:legend = []d2l.use_svg_display()self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)if nrows * ncols == 1:self.axes = [self.axes, ]# 使用lambda函数捕获参数self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmtsdef add(self, x, y):# 向图表中添加多个数据点if not hasattr(y, "__len__"):y = [y]n = len(y)if not hasattr(x, "__len__"):x = [x] * nif not self.X:self.X = [[] for _ in range(n)]if not self.Y:self.Y = [[] for _ in range(n)]for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):if a is not None and b is not None:self.X[i].append(a)self.Y[i].append(b)self.axes[0].cla()for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):self.axes[0].plot(x, y, fmt)self.config_axes()display.display(self.fig)display.clear_output(wait=True)

上面都搞完了，我们就可以训练模型了，代码如下：

# 参数初始化
# 因为原图像大小为28 * 28,我们将其平铺,也就是784
num_inputs = 784
# 因为总共10类,所以输出数目为10
num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)
lr = 0.1
def updater(batch_size):with torch.no_grad():return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

得到的结果如下：

如果训练过程出现train_loss为nan的情况，可以重新运行代码程序试试。

6.测试

一个好的模型不仅要在训练集上取得好的效果，它在测试集上也要有出色的表现，对此，我们对训练的模型进行测试。

# 预测
def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@savefor X, y in test_iter:breaktrues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]d2l.show_images(X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])
predict_ch3(net, test_iter,n=10)

结果为：

可以看到预测结果都是正确的。