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线代知识点总结

news 2025/11/6 20:17:32

一.初等行/列变换

1.计算行列式时，行列变换都可

2.求矩阵的秩时，行列变换都可

3.解线性方程组时，仅能使用初等行变换

4.判定解的情况，单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可

5.求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换

6.求向量组的秩时，行列变换都可

7.求特征值时，行列变换都可

8.求特征向量时，仅做行变换

9.求逆矩阵时，对(A,E)仅做初等行变换

总结：

二.要牢记

三.某某子式

1.余子式

2.代数余子式

3.k阶子式

4.k阶主子式

5.顺序主子式

四.矩阵的秩

五.常用特征值与特征向量

1.矩阵的逆

2.矩阵的伴随

六.矩阵，向量组，方程组

1.怎么判断两个矩阵等价

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

3.同解方程组

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

八.对比记忆

九.相似与正交

十.合同

十一.二次型

十二.二次型正定

本节是线代某些知识点总结，可能较零碎。

对于简单的知识点，例如“两行对应成比例，行列式为0"就不讲了。暂时不举例题，有时间会继续补充！

一.初等行/列变换

1.计算行列式时，行列变换都可

因为 $D=D^{T}$ ，所以不论动行/列都是等价的。

变换规则：

1.“倍乘”：行列式的某行(列)乘某个元素k。相应的，若行列式中某行(列)元素有公因子k(k≠0)，则k可提到行列式外面，即:

2."互换"：行列式中两行(列)互换，行列式变号。

3.“倍加”：某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。

2.求矩阵的秩时，行列变换都可

因为初等变换不改变某个矩阵非零子式的最高阶数，秩指的就是非零子式的最高阶数。

初等变换的规则：

1."倍乘"：一个非零常数乘矩阵矩阵的某一行(列)。

2."互换"：互换矩阵中某两行(列)的位置。

3."倍加"：将矩阵的某一行(列)的k倍加到令一行(列)。

注意：

某矩阵乘元素k，是矩阵中的每个元素都成k，要与行列式区分。

也就是 $|kA|=k^n|A|$ 。

3.解线性方程组时，仅能使用初等行变换

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换，而作列变换会改变原来的方程。

4.判定解的情况，单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可

注：将r(A,b)化行阶梯求秩时，往往我们需要同时得到r(A)，如果想用列变换的话，只能对A单独列变换，千万不要将b列和A的列混合运算，这样r(A)就不准了。(但r(A,b)是准的)。

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行变换化行阶梯了，所以建议一开始就只做行变换。

总结：求解的过程，就只进行初等行变换化行阶梯求秩，并且顺势化为行最简型求解。

5.求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图， $\beta$ 矩阵中， $\beta_{3}=\beta_{2} +\beta_{1}$ ， $\alpha$ 矩阵同样有这样的关系。

6.求向量组的秩时，行列变换都可

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是"矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩"，所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7.求特征值时，行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

8.求特征向量时，仅做行变换

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

9.求逆矩阵时，对(A,E)仅做初等行变换

因为以 $A^{-1}$ 左乘A得到E，以 $A^{-1}$ 左乘E得到 $A^{-1}$ ，以 $A^{-1}$ 左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现A和E做了完全一样的 $A^{-1}$ 所带来的初等行变换，就是将A，E横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

总结：

除了① 求行列式的值（求特征值本质上就是求行列式的值）和 ② 单纯求秩，行列变换都可，其余情况通通只做行变换。

二.要牢记

先写那么多，后面有再补充：

一些推导：

对于AB ≠ BA的补充：

三.某某子式

1.余子式

在n阶行列式中，去掉元素a所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素a的余子式，记作 $M_{ij}$ 。

2.代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为a的代数余子式，记作A $A_{ij}$

3.k阶子式

给定一个矩阵，任取k行，任取k 列，共 $k^{2}$ 个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设A是mxn矩阵，则若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式(如果有的话)全为零，则r(A)=k，且若A为nxn矩阵，则：

4.k阶主子式

指在行列式中选k行k列，但要求行和列的下标相同。如：行为r1、r2、r3，列必须为c1、c2、c3；行为r2、r3、r5，列必须为c2、c3、c5。因此，k阶主子式不唯一。

这在矩阵相似会用到，下面会讲。

5.顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定，顺序主子式是由 1~k 行和 1~k 列所确定的子式。

例如：

1阶时：取第1行，第1列

2阶时：取第1、2行，第1、2列

3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列

4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列

实际上，主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。

所以k 阶主子式是不唯一的，而 k 阶顺序主子式是唯一的。

用在判断二次型正定上，下面会讲。

四.矩阵的秩

① 0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤

r(A)=n-1,r(A*)=1的证明：

进而可得出一个重要结论：

$A_{m*n}B_{n*s}=0$ ，则r(A)+r(B)<=n

⑥ 设A是m*n矩阵，P,Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)= $r(A^{T})$ =r( $AA^{T}$ )=r( $A^{T}A$ )

五.常用特征值与特征向量

六

1.矩阵的逆

除了一般公式，矩阵的逆和伴随：

推导如下：

2.矩阵的伴随

六.矩阵，向量组，方程组

矩阵，向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n*1的矩阵(n维列向量)或是一个1*n的矩阵(n维行向量)。

 ② 矩阵是由m*n个数排列成m行n列的数表。

一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有n列，那么这n列就可以看作是一个由n个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

1.怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提：A与B是同型矩阵，即A,B行数，列数相同

矩阵等价的充要条件：

① r(A)=r(B)

② PAQ=B，P,Q可逆

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提：A，B矩阵同维

若r( Ⅰ )=r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....) r(Ⅱ)=r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....)

向量组等价的充要条件：
① r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出（单向表出即可）

② r(Ⅱ)=r(Ⅰ)，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出（单向表出即可）

③ r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....) =r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....) =r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ..., $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ...)，即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能够相互线性表示。

总结：
① 两个矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。两个不同型矩阵是不可能等价
乡
② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题：

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同为n维向量组，但是s与t的关系未知，也就是行数相等，列数未知，所以A，B两个矩阵可能不同型，不能等价。

B.(Ⅰ)可由（Ⅱ）表示，缺少其他条件，如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就对了

C正确

D r(A)=r(B)，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件，如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)线性表出或者③ r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)，就对了。

3.同解方程组

若两个方程组 $A_{m*n}x=0$ 与 $B_{s*n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组

充要条件：

① Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0(互相把解代入求出结果即可)

② r(A)=r(B)，且Ax=0的解满足Bx=0(或Bx=0的解满足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r( $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}$ )(三秩相同)

例1：

例2：

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件：

① r(A)=n时，方程组有唯一零解。

② r(A)=r<n时，方程组有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件：

$\alpha_{1}=2\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ----> $\alpha_{1}-2\alpha_{2} -\alpha_{3}+0 \alpha_{4} =0$

则(1 -2 -1 0)就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件：

① 若r(4)≠r([A,b])，则方程组无解；
② 若r(A)=r([A,b])=n，则方程组有唯一解；
③ r(A)=r([A,b])=r<n，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一个特解

③ 非齐次方程组的通解=齐次方程组的解+一个非齐次的特解

如果A行满秩，则r(A)=r(A|b)，那么方程组一定有解。

如果A列满秩，则r(A)与r(A|b)的关系不确定：

① r(A)<r(A|b)，则无解

② r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解

③ r(A)=r(A|b)=n，有唯一解

八.对比记忆

矩阵A的tr(A)：tra(A)=矩阵A的迹=对角线元素之和

2.对于秩为1的n阶矩阵A或A= $\alpha \beta ^{T}$ (或 $\beta ^{T}\alpha$ )（a,β都是n维非零列向量），其特征值为 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} ....\lambda_{n-1}$ =0， $\lambda _{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\beta^{T} \alpha$ （或 $\alpha^{T} \beta$ ）

例题1：

例题2：

九.相似与正交

存在n阶可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$ ,则称A相似于B，记为A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④ $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ （ $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ）

⑤ $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$

⑥ A，B各阶主子式之和分别相同

那么怎么判定矩阵相似呢？

① 定义法

存在n阶可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$

② 传递法

A~ $\Lambda$ ， $\Lambda$ ~B，则A~B，其中 $\Lambda$ 为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：

① n阶矩阵A可相似对角化↔有n个线性无关的特征向量。

② n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

必要条件：

③ n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化

④ n阶矩阵为实对称矩阵→A可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的话），单位化 $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$

④ 令Q=[ $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$ ],则Q为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成A的元素都是实数。对于实对称矩阵（ $A^T=A$ ）要记住：

对于正交，你需要记住：
① $\alpha ^{T} \beta =0$ ，则 $\alpha$ ， $\beta$ 是正交向量

② 若满足 $A^{T}A=E$ ，则A是正交矩阵

$A^{T}A=E$ ↔ $A^{-1}=A^{T}$

例题：

矩阵相似还可得出：

① A~B， $A^{k}=B^{k}$ ，f(A)=f(B)

② 若A~B，且A可逆，则 $A^{-1}$ ~ $B^{-1}$ ，f( $A^{-1}$ )=f( $B^{-1}$ )

③ 若A~B， $A^*$ ~ $B^*$

④ 若A~B， $A^T$ ~ $B^T$

注：

十.合同

设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 $C^TAC=B$ ，则称A与B合同，即 $A\cong B$ 。A与B合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

A与B合同的充要条件：正惯性性指数(p)等于负惯性指数(q)

① pA=PB，且qA=qB

② pA=PB，且r(A)=r(B)

③ qA=qB，且r(A)=r(B)

注：由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

十一.二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法：配方法，正交变化有总结如下：

这里记录一个例题：

十二.二次型正定

二次型正定的充要条件：
n元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定↔对任意x≠0，有 $x^{T}Ax$ >0（定义）

① ↔f的正惯性指数p=n

② ↔存在可逆矩阵D，使得 $A=D^{T}D$

③ ↔ $A\cong E$ ，A与E合同

② ③推导：

④↔A的特征值 $\lambda$ >0

⑤↔A的全部顺序主子式>0

二次型正定的必要条件：

① $a_{ii}$ >0，对角线元素全部大于0

② |A|>0