动态规划之股票问题大总结
参考资料:代码随想录 (programmercarl.com)
一、只能买卖一次
题目链接:121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣(LeetCode)
算法思想:
设置两种状态:0表示已持有股票,1表示未持有股票
1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][1]表示第i天未持有股票时,获得的最大利润
2.递推式:
对于dp[i][0]:
若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];
若第i-1天未持有股票,则dp[i][0]=0-prices[i];
综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);
对于dp[i][1]:
若第i-1天未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];
若第i-1天已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];
综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
3.初始化:
dp[0][0]=-prices[0];
算法实现:
int maxProfit(int *prices,int pricesSize){//设置两种状态:0表示已持有股票,1表示未持有股票//1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][1]表示第i天未持有股票时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][0]:// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][0]=0-prices[i];//综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);//对于dp[i][1]:// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];//综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);//3.初始化://dp[0][0]=-prices[0];int dp[pricesSize][2];memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);}return dp[pricesSize-1][1];
}
二、可以买卖多次
题目链接:122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣(LeetCode)
算法思想:
设置两种状态:0表示已持有股票,1表示未持有股票
1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][1]表示第i天未持有股票时,获得的最大利润
2.递推式:
对于dp[i][0]:
若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];
若第i-1天未持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i];
综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
(II与I的唯一区别就在于:
只允许一次购买时,在持有股票之前,所获得利润必为0,而允许多次购买则不然)
对于dp[i][1]:
若第i-1天未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];
若第i-1天已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];
综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
3.初始化:
dp[0][0]=-prices[0];
算法实现:
int maxProfitII(int *prices,int pricesSize){//设置两种状态:0表示已持有股票,1表示未持有股票//1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][1]表示第i天未持有股票时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][0]:// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i];//综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//(II与I的唯一区别就在于:// 只允许一次购买时,在持有股票之前,所获得利润必为0,而允许多次购买则不然)//对于dp[i][1]:// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];//综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);//3.初始化://dp[0][0]=-prices[0];int dp[pricesSize][2];memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);}return dp[pricesSize-1][1];
}
三、最多买卖两次
题目链接:123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣(LeetCode)
算法思想:
设置四种状态:
0表示第一次已持有股票
1表示第一次未持有股票
2表示第二次已持有股票
3表示第二次未持有股票
1.dp[i][0]表示第i天第一次已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][1]表示第i天第一次未持有股票时,获得的最大利润
dp[i][2]表示第i天第二次已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][3]表示第i天第二次未持有股票时,获得的最大利润
2.递推式:
对于dp[i][0]:
若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];
若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][0]=0-prices[i];
综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);
对于dp[i][1]:
若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];
若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];
综上,dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
对于dp[i][2]:
若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][2];
若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][1]-prices[i];
综上,dp[i][2]=fmax(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prices[i]);
对于dp[i][3]:
若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][3]=dp[i-1][3];
若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][3]=dp[i-1][2]+prices[i];
综上:dp[i][3]=fmax(dp[i-1][3],dp[i-1][2]+prices[i]);
3.初始化:
dp[0][0]=dp[0][2]=-prices[0];
算法实现:
int maxProfitIII(int *prices,int pricesSize){//设置四种状态:// 0表示第一次已持有股票// 1表示第一次未持有股票// 2表示第二次已持有股票// 3表示第二次未持有股票//1.dp[i][0]表示第i天第一次已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][1]表示第i天第一次未持有股票时,获得的最大利润//dp[i][2]表示第i天第二次已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][3]表示第i天第二次未持有股票时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][0]:// 若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];// 若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][0]=0-prices[i];//综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);//对于dp[i][1]:// 若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];// 若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];//综上,dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);//对于dp[i][2]:// 若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][2];// 若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][1]-prices[i];//综上,dp[i][2]=fmax(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prices[i]);//对于dp[i][3]:// 若第i-1天第一次未持有股票,则dp[i][3]=dp[i-1][3];// 若第i-1天第一次已持有股票,则dp[i][3]=dp[i-1][2]+prices[i];//综上:dp[i][3]=fmax(dp[i-1][3],dp[i-1][2]+prices[i]);//3.初始化://dp[0][0]=dp[0][2]=-prices[0];int dp[pricesSize][4];memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=dp[0][2]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],-prices[i]);dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);dp[i][2]=fmax(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][3]=fmax(dp[i-1][3],dp[i-1][2]+prices[i]);}return dp[pricesSize-1][3];
}
四、最多买卖k次
题目链接:188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣(LeetCode)
算法思想:
设置2*k种状态:
for j=1 to k
2*j-1表示第j次已持有股票
2*j+1表示第j次未持有股票
1.dp[i][2*j-1]表示第i天第j次已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][2*j]表示第i天第j次未持有股票时,获得的最大利润
2.递推式:
对于dp[i][2*j-1]:
若第i-1天第j次已持有股票,则dp[i][2*j-1]=dp[i-1][2*j-1];
若第i-1天第j次未持有股票,则dp[i][2*j-1]=dp[i-1][2*j-2]-prices[i];
综上,dp[i][2*j-1]=fmax(dp[i-1][2*j-1],dp[i-1][2*j-2]-prices[i]);
对于dp[i][2*j]:
若第i-1天第j次未持有股票,则dp[i][2*j]=dp[i-1][2*j];
若第i-1天第j次已持有股票,则dp[i][2*j]=dp[i-1][2*j-1]+prices[i];
综上,dp[i][2*j]=fmax(dp[i-1][2*j],dp[i-1][2*j-1]+prices[i]);
3.初始化:
for(int i=1;i<=2*k;i+=2) dp[0][i]=-prices[0];
算法实现:(实际上就是在三的基础上,从2次买卖延伸到了k次买卖,用for循环即可)
int maxProfitIV(int k,int *prices,int pricesSize){//设置2*k种状态:// for j=1 to k// 2*j-1表示第j次已持有股票// 2*j+1表示第j次未持有股票//1.dp[i][2*j-1]表示第i天第j次已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][2*j]表示第i天第j次未持有股票时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][2*j-1]:// 若第i-1天第j次已持有股票,则dp[i][2*j-1]=dp[i-1][2*j-1];// 若第i-1天第j次未持有股票,则dp[i][2*j-1]=dp[i-1][2*j-2]-prices[i];//综上,dp[i][2*j-1]=fmax(dp[i-1][2*j-1],dp[i-1][2*j-2]-prices[i]);//对于dp[i][2*j]:// 若第i-1天第j次未持有股票,则dp[i][2*j]=dp[i-1][2*j];// 若第i-1天第j次已持有股票,则dp[i][2*j]=dp[i-1][2*j-1]+prices[i];//综上,dp[i][2*j]=fmax(dp[i-1][2*j],dp[i-1][2*j-1]+prices[i]);//3.初始化://for(int i=1;i<=2*k;i+=2) dp[0][i]=-prices[0];int dp[pricesSize][2*k+1];memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=2*k;i+=2)dp[0][i]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){for(int j=1;j<=k;j++){dp[i][2*j-1]=fmax(dp[i-1][2*j-1],dp[i-1][2*j-2]-prices[i]);dp[i][2*j]=fmax(dp[i-1][2*j],dp[i-1][2*j-1]+prices[i]);}}return dp[pricesSize-1][2*k];
}
五、买卖多次,卖出有一天冷冻期
题目链接:309. 最佳买卖股票时机含冷冻期 - 力扣(LeetCode)
算法思想:
设置三种状态:
0表示已持有股票
1表示未持有股票且处于非冷冻状态
2表示未持有股票且处于冷冻状态
1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润
dp[i][1]表示第i天未持有股票且处于非冷冻状态时,获得的最大利润
dp[i][2]表示第i天未持有股票且处于冷冻状态时,获得的最大利润
2.递推式:
对于dp[i][0]:
若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];
若第i-1天未持有股票,必为非冷冻状态,则dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i];
综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
对于dp[i][1]:
第i-1天必未持有股票
若第i-1天未持有股票且处于非冷冻状态,则dp[i][1]=dp[i-1][1];
若第i-1天未持有股票且处于冷冻状态,则dp[i][1]=dp[i-1][2];
综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);
对于dp[i][2]:
第i-1天必已持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
3.初始化:
dp[0][0]=-prices[0];
算法实现:
int maxProfitV(int *prices,int pricesSize){//设置三种状态:// 0表示已持有股票// 1表示未持有股票且处于非冷冻状态// 2表示未持有股票且处于冷冻状态//1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][1]表示第i天未持有股票且处于非冷冻状态时,获得的最大利润//dp[i][2]表示第i天未持有股票且处于冷冻状态时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][0]:// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];// 若第i-1天未持有股票,必为非冷冻状态,则dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i];//综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//对于dp[i][1]:// 第i-1天必未持有股票// 若第i-1天未持有股票且处于非冷冻状态,则dp[i][1]=dp[i-1][1];// 若第i-1天未持有股票且处于冷冻状态,则dp[i][1]=dp[i-1][2];//综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//对于dp[i][2]:// 第i-1天必已持有股票,则dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];//3.初始化://dp[0][0]=-prices[0];int dp[pricesSize][3];memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];}return fmax(dp[pricesSize-1][1],dp[pricesSize-1][2]);
}
六、买卖多次,卖出有手续费
题目链接:714. 买卖股票的最佳时机含手续费 - 力扣(LeetCode)
算法思想:(同二)
算法实现:(如果掌握了二,那么这题就不用看)
int maxProfitVI(int *prices,int pricesSize,int fee){//设置两种状态:0表示已持有股票,1表示未持有股票//1.dp[i][0]表示第i天已持有股票时,获得的最大利润//dp[i][1]表示第i天未持有股票时,获得的最大利润//2.递推式://对于dp[i][0]:// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][0];// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][0]=dp[i-1][1]-prices[i];//综上,dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//对于dp[i][1]:// 若第i-1天未持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][1];// 若第i-1天已持有股票,则dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i]-fee;//综上:dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);//3.初始化://dp[0][0]=-prices[0];int dp[pricesSize][2];memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][0]=-prices[0];for(int i=1;i<pricesSize;i++){dp[i][0]=fmax(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1]=fmax(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);}return dp[pricesSize-1][1];
}
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