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压缩映射定理证明

news 2025/8/29 16:36:52

 收缩映射定理（又称Banach不动点定理）是一个重要的结果，特别是在分析和应用数学中。

定理（收缩映射定理）：假设f{}是一个从度量空间 (X,d) 到自身的函数，如果f{} 是一个收缩映射，即存在常数 0\leqslant k< 1，使得对于所有 x,y{}\epsilon X，有d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y),那么 f{}有唯一的不动点 x^*，即f(x^*) = x^*。此外，对于任何初始点 x_0 \in X，迭代序列 x_{n+1} = f(x_n) 都收敛于 x^*，且收敛速度是指数级的。

证明

  1. 存在性：我们需要证明存在一个不动点 x^* 使得 f(x^*) = x^*。

    取任意初始点 x_0 \in X，构造序列 \{x_n\}，其中 x_{n+1} = f(x_n)。

    我们需要证明这个序列收敛。首先，我们估算x_{n+1} 和 x_n​ 之间的距离：

    d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1})

    反复使用这个不等式，我们得到：

    d(x_{n+1}, x_n) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1}) \leq k^2 \cdot d(x_{n-1}, x_{n-2}) \leq \cdots \leq k^n \cdot d(x_1, x_0)

    由于 0 \leq k < 1，我们知道 k^n \to 0 随着 n \to \infty。因此，

    d(x_{n+1}, x_n) \to 0   随着     n \to \infty

    现在，我们证明\{x_n\}是一个Cauchy序列。对于任何m > n，有：

    d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)

    使用前面的估计：

    d(x_m, x_n) \leq k^{m-1}d(x_1, x_0) + k^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + k^n d(x_1, x_0)

    因此，

    d(x_m, x_n) \leq d(x_1, x_0) \sum_{i=n}^{m-1} k^i \leq d(x_1, x_0) \frac{k^n}{1 - k}.

    由于\frac{k^n}{1 - k} \to 0 随着n \to \infty，我们可以得出 d(x_m, x_n) \to 0 随着 n, m \to \infty，即 \{x_n\}是一个Cauchy序列。由于X是一个度量空间（假设是完备的），所以 \{x_n\} 收敛于某个点 x^* \in X。

  2. 不动点：我们需要证明这个极限点 x^*是f的不动点。由于f 是连续的，我们有：

    f(x^*) = f\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*

  3. 唯一性：假设存在两个不动点 x^* 和 y^*，使得 f(x^*) = x^*和 f(y^*) = y^*。我们有：

    d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq k \cdot d(x^*, y^*)

    由于 0 \leq k < 1，唯一可能的是 d(x^*, y^*) = 0，即 x^* = y^*。

  4. 算法和收敛性：对于任意初始点 x_0 \in X，迭代序列 x_{n+1} = f(x_n) 收敛于 x^*。而且，从上述证明中，我们可以看到收敛速度是指数级的，因为

    d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1 - k} d(x_1, x_0)

综上所述，收缩映射定理证明完成。

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