四边形不等式优化

四边形不等式优化

应用于类似以下dp转移方程。
$$f_i=\underset{1\le j\le i}{\min }(w_{i,j},f_i)$$
假设 $w_{i,j}$ 可以在 $O(1)$ 的时间内进行计算。

在正常情况下，此状态转移方程的时间复杂度是 $O(n^2)$。

对于问题 $i$，我们需要考虑所有的有关决策 $j$，但是当其满足决策单调性时，就可以缩小决策空间，减少时间复杂度。

四边形不等式：

约定：

对于类似 $a\le b\le c\le d$ 都成立，若二元函数 $w_{i,j}$ 满足以下条件
$$w_{a,c}+w_{b,d}\le w_{a,d}+w_{b,c}$$
则称 $w_{i,j}$ 满足四边形不等式。

特别的，若等号永远成立，则称 $w_{i,j}$ 为四边形恒等式。

重点：因为四边形不等式是用来优化时间复杂度的，所以四边形不等式给出了一个决策单调性的充分不必要条件。

利用决策单调性，可以使用二分查找，使其查询时间复杂度降低为 $O(N\log N)$。

区间包含单调性

若 $w_{b,c}\le w_{a,d}$，则称 $w$​ 满足区间包含单调性。

• 既包含，又满足决策单调性。

• 满足四边形不等式的形象化图片。

方程：
$$
w_{l,r+1}-w_{l,r}=a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor}
\
w_{l+1,r+1}-w_{l+1,r}=a_{r+1}-a_{\lfloor\frac{l+r+2}{2}\rfloor}
\

$$