「动态规划」如何求最长递增子序列的长度？

300. 最长递增子序列https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/

给你一个整数数组nums，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7]是数组[0,3,1,6,2,2,7]的子序列。

1. 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]，输出：4，解释：最长递增子序列是[2,3,7,101]，因此长度为4。
2. 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]，输出：4。
3. 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]，输出：1。

提示：1 <= nums.length <= 2500，-10^4 <= nums[i] <= 10^4。

进阶：你能将算法的时间复杂度降低到O(nlog(n))吗？

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我们用动态规划的思想来解决这个问题。

确定状态表示：根据经验和题目要求，我们用dp[i]表示：以i位置为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的长度。

推导状态转移方程：以i位置为结尾的所有子序列分为2类：长度为1的子序列，长度大于1的子序列。如果子序列的长度是1，那么这个子序列是递增子序列。下面我们考虑长度大于1的子序列。

如果以i位置为结尾的子序列的长度大于1，我们可以继续细分为：i位置元素的前面是i - 1位置元素的子序列，i位置元素的前面是i - 2位置元素的子序列，i位置元素的前面是i - 3位置元素的子序列，……，i位置元素的前面是0位置元素的子序列。也就是说，如果子序列中，i位置元素的前面是j位置元素，那么j的范围是[0, i - 1]。

对于每一个j，如果nums[j] < nums[i]，那么这个子序列就有可能是递增子序列。要想这个子序列尽可能得长，就要找到以j位置为结尾的最长递增子序列，在这个子序列后面添加nums[i]，即为以i位置为结尾的最长递增子序列。

综上所述，dp[i]应该取：「1」和「所有满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中，最大的dp[j]加1」的较大值。

所以，我们可以把dp表的值都初始化为1，其中dp[0] = 1是显然的。如果i > 0，那么dp[i]就应该取：所有满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中，最大的dp[j]加1。

填表顺序：根据状态转移方程，显然应从左往右填表。

返回值：根据状态表示，应返回dp表的最大值。

细节问题：dp表的规模和nums相同，均为1 x n。

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 创建dp表vector<int> dp(n, 1);// 填表for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}}return *max_element(dp.begin(), dp.end());}
};