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机器学习课程复习——奇异值分解

news 2026/2/10 3:34:21

1. 三种奇异值分解

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）包含了：

  • 完全奇异值分解（Complete Singular Value Decomposition, CSVD）
  • 紧奇异值分解（Tight Singular Value Decomposition, TSVD）
  • 截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition, TSVD）

note：这三种奇异值分解的区别主要在\sum上，分别为m\times n包含所有奇异值；n\times n包含非0奇异值；k\times k包含最大的k个奇异值。 

1.1. 完全奇异值分解

1.1.1. 定义

  • 矩阵的奇异值分解一定存在，但不唯一
  • A不一定是方阵

1.1.2. 示例

1.2. 紧奇异值分解

1.2.1. 定义

note：即\sum _{r}的大小由矩阵A的秩决定。

1.2.2. 示例 

1.3. 截断奇异值分解

1.3.1. 定义

1.3.2. 示例 

2. 几何解释

3. 性质

4. 奇异值分解的计算

4.1. 首先求A^{T}A的特征值和特征向量

4.2. 求n阶正交矩阵V

note：将v_{1}和v_{2}按顺序合并。

4.3. 求m\times n对角矩阵\sum

note：将\sigma _{1}和\sigma _{2}按顺序合并。 

4.4. 求m阶正交矩阵U

4.5. 得到奇异值分解

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