【基础算法总结】分治—快排

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1.分治

分治思想就如同它的名字一样：分而治之。

将一个大问题划分成若干个相同或者相识的子问题。然后在将子问题在划分成若干个相同或者相识的子问题，直到划分到不能在划分。然后解决子问题，子问题都解决完了，大问题也就被解决完了。快速排序和归并排序就用的分治思想。

以前我们学快速排序是在数组中选择一个基准元素，然后将数组分成左右两个区间，左区间比基准元素小，右区间比基准元素大。然后递归的去左区间和有区间排序，这种做法是将数组分成了两份。但是对于重复元素非常多的数组即使使用快速排序也会超时。因此这里我们学习新的划分方法，将数组划分成三份。

还是选一个基准元素将数组划分成三份，左区间元素都比基准元素小。中间区间元素和基准元素相同，右区间元素都比基准元素大。因为中间都是等于key的一定就是在最终位置，所以接下来递归还是只考虑左区间和右区间。

2.颜色分类

题目链接：75. 颜色分类

题目分析：

说起来这道题并不是真正的分治快速排序，而是把数组按照一定规则划分成三块的。当把这道题解决后，快排写的就非常简单。

这道题就相当于选择一个基准元素1，把小于1的放左边，大于1的放右边，等于1的放中间。

算法原理：

双指针可以将数组分成两块，具体怎么分，双指针系列第一道题移动零。这里我们需要三个指针将数组分成三块！

每个指针的作用：
i指针：遍历整个数组
left：标记 0 区域的最右侧
right：标记 2 区域的最左侧

三个指针将数组分成4份：
[0，left] ：全都是0
[left+1，i-1]：全都是1
[i，right-1]：待扫描的元素
[rigth+1，n-1]：全都是2

接下来就讨论nums[i]是0或1或2应该怎么办？

当nums[i]为0的时候，要把0加入到左边区域，left指向的是 0 最右侧区域，此时left+1，然后将 i 位置和 left+1 元素交换，然后i+1。

还有一种极端情况 i 就在 left+1的为位置，并且正好是0。但是这种处理方法和上面一样。

当nums[i]为1的时候，i 指针往后走就行了

当nums[i]为2的时候，我们要将2加入到右边区间，也就是加入到 right - 1 的位置。交换 i 位置和 right -1 位置的元素。但是此时需要注意的是 交换给 i 位置的元素是待扫描的元素，因此 i 指针不能往后走！

class Solution {
public:void sortColors(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int i = 0, left = -1, right = n;while(i < right){if(nums[i] == 0)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == 2)swap(nums[--right], nums[i]);else++i;}}
};

3.排序数组

题目链接：912. 排序数组

题目描述：

算法原理：

在数组中选择一个基准元素key，根据key将数组分成左右区间，左区间元素小于等于key，右区间元素大于key。这个key就处于排序的最终位置。然后在将左区间排排序，右区间排排序，重复上述过程。整体就有序了。时间复杂度(nlogn)

但是如果数组都是重复元素，此时选择基准元素间将数组分成左右两区间就不行了。时间复杂度退化成O(n^2)

所以我们学习一个更优的做法，将 数组分三块 思想来实现快速排序

我们先选一个基准元素key，将数组分成三块。左区间小于key，中间区间等于key，右区间大于key。中间区间已经在排序后的最终位置，所以只用去去左区间排序，右区间排序。重复上述过程，整体就有序了。

数组如何分三块和颜色分类一模一样。定义一个i 指针 扫描数组，left指针 指向左区间小于key的最右侧， right指针 指向右区间大于key的最左侧。然后分情况讨论就好了。

即使数组全部都是重复元素，我们经过一次数组划分，整个数组都是中间区间，左右区间不存在，也不用在递归下去了，直接结束。时间复杂度O(n)

优化：用随机的方式选择基准元素
之前常用的三数取中，还是不够随机。要想时间复杂度逼近O(nlogn)就要用随机的方式选择基准元素。

随机选择就是让数组中每个元素被选择的概率相同，然后返回被选择的元素。

使用产生随机数的函数 rand()，让生成的随机数%这个区间的长度，然后加上left，这是在这个区间内的随机数的下标，然后返回对应下标的元素。

class Solution {
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand((unsigned int)time(nullptr));QuickSort(nums,0,nums.size()-1);return nums;}void QuickSort(vector<int>& nums, int l, int r){if(l >= r) return;//数组分三块int key = getRandom(nums, l ,r);int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key)++i;elseswap(nums[--right], nums[i]);}QuickSort(nums, l , left);QuickSort(nums, right, r);}int getRandom(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right - left + 1) + left];}

4.数组中的第K个最大元素

题目链接：215. 数组中的第K个最大元素

题目分析：

给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。其实就是一个TopK问题。

TopK问题四种问法：

第 k 个最大的元素
第 k 个最小的元素
前 k 个最大的元素
前 k 个最小的元素

可以使用堆排序， 时间复杂度O(nlogn)

还有一种就是快速选择算法，快速选择算法是基于快排实现的。时间复杂度O(n)。

算法原理：

一定要把数组分三块+随机选择基准元素掌握，才能懂这道题。

核心操作还是选择一个基准元素key，将数组分成< key ， = key ，> key 三块区域。在这道题中我们是要找到第K大元素，这个第K大元素有可能落在三个区域中的任何一个区域。如果有一种方法能够确定第K大元素能够落在那个区域，那另外两个区域就不用考虑了。仅需在确定的区域里面递归找。所以说它是比快排更快的一种算法。

接下来重点就是如何确定第K大元素落在左边区域、中间区域、还是右边区域。
此时我们先统计出每个区域中元素的个数，假设左边区域元素个数为 a，中间区域元素个数为 b，右边区域元素个数为 c。

此时就分三种情况讨论：

因为求第K大，所以可以先考虑右边区域，因为右边区域都是大元素聚集地，第K大最有可能在右边区域。

1. 第一种情况：如果第K大是落在右边区域，此时 c >= K，因为c表示大元素有多少个，而K表示找第K大的元素。如果 c >= K ，那第K大一定是落在右边区域。此时我们仅需到[right，r]，找第K大。
2. 第二种情况：如果到了第二情况那第一种情况一定是不成立的。如果第K大是落在中间区域，此时 b + c >= K，又因为第一种情况不满足，所有第K大一定是落在中间区域。此时就找到了也不用递归了。直接返回就可以。
3. 第三种情况：第一、第二种情况全部不成立，第K大一定落在左边区域，去**[l，left]找**，但是此时并不是去找第K大了，本来是想在整个区间找第K大，但是第K大元素确定不在中间区域和右边区域，中间和右边区域都要被抛弃，此时去找左边区间找的是第 K - b - c 大的元素

class Solution {
public:int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {srand((unsigned int)time(nullptr));return QuickSort(nums,0,nums.size()-1,k);}int QuickSort(vector<int>& nums, int l, int r, int k){//不用考虑区间不存在的情况,因为下面的判断K落在那个区域,只要满足进入的一定是有的if(l == r) return nums[l];// 1.随机选择基准元素int key = GetRandom(nums, l, r);// 2.根据基准元素将数组分三块int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) ++i;else swap(nums[--right], nums[i]);}//3.计算每个区间都有多少元素,然后选择区间递归int b = right - 1 - left , c = r - right + 1; if(c >= k) return QuickSort(nums, right, r ,k);else if(b + c >= k) return key;else return QuickSort(nums, l, left, k - b - c);}int GetRandom(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right - left + 1) + left];}// int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {//     //前k个建小堆//     priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> pq(nums.begin(),nums.begin()+k);//     //N-k与堆顶元素比较，大于堆顶就入堆，再次调整成小堆//     for(size_t i=k;i<nums.size();++i)//     {//         if(nums[i]>pq.top())//         {//             pq.pop();//             pq.push(nums[i]);//         }//     }//     return pq.top();// }
};

5.库存管理 III

题目链接：LCR 159. 库存管理 III

题目分析：

实际上这也是一个TopK问题，让找前K个最小元素。注意返回结果并不考虑顺序问题。

算法原理：

解法一：排序 ，时间复杂度O(nlogn)
解法二：堆 ，时间复杂度O(nlogk)
解法三：快速选择算法，时间复杂度O(n)

数组分三块+随机选择基准元素。
选择一个基准元素key，将数组分成< key ， = key ，> key 三块区域。找前K个最小的元素，落在三个区域中任何一个。统计除每个区域元素个数，然后选择去那个区域找。

分三种情况：
因为前K下最小元素最有可能出现在左边区域，因此先判断左边区域

1. a >= K ，去[l，left] 找前K个最小元素
2. b + a >= K ，直接返回
3. 1、2都不成立，去[right，r] 找 K - a - b 个最小元素

class Solution {
public:vector<int> inventoryManagement(vector<int>& nums, int k) {srand((unsigned int)time(nullptr));QuickSort(nums, 0, nums.size() - 1, k);return {nums.begin(),nums.begin() + k};}void QuickSort(vector<int>& nums, int l, int r, int k){if(l >= r) return;// 1. 随机选择基准元素int key = GetRandom(nums, l, r);// 2. 数组分三块int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) ++i;else swap(nums[--right], nums[i]);}// 3. 分情况讨论int a = left - l + 1, b = right - left - 1;if(a >= k) QuickSort(nums, l, left, k);else if(a + b >= k) return;else QuickSort(nums, right, r, k - a - b);}int GetRandom(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right - left + 1) + left];}
};