【线性代数的本质】矩阵与线性变换

线性变化要满足两点性质：

1. 直线（连续的点）在变换后还是直线。
2. 原点不变。

假设有坐标轴（基底）$\hat{i}$和$\hat{j}$：
$$\hat{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

若向量$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$，则可以使用它们表示成：
$$\vec{v}=-1\hat{i}+2\hat{j}$$

当空间进行一次线性变换后，$\hat{i}$和$\hat{j}$都发生了变化，但$\vec{v}$与它们的关系却保持不变。假设这些向量经过变换变成了：
$$\begin{gathered} Tran(\hat{i})=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right],Tran(\hat{j})=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right] \\ Tran(\vec{v})=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right] \end{gathered}$$

发现依然满足：
$$\begin{array}{rl}Tran(\vec{v})& =-1Tran(\hat{i})+2Tran(\hat{j})\\ & =-1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-1(1)+2(3)\\ -1(-2)+2(0)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]\end{array}$$

实际上，将两个基底在线性变换后变成的两个列向量合在一起，就是一个表示该线性变换的矩阵；对原向量左乘该矩阵，就能得到线性变换后的向量：

$$\begin{array}{rl}Tran(\vec{v})& =M\ast \vec{v}\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]\\ & =-1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-1(1)+2(3)\\ -1(-2)+2(0)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]\end{array}$$
把数字换成符号，可以得到一个等式：

$$\left[\begin{array}{cc}{x}_i& x_j\\ y_i& y_j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_i\ast x+x_j\ast y\\ y_i\ast x+y_j\ast y\end{array}\right]$$

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举个例子，如果要进行一次线性变换，使得二维空间被逆时针旋转90度，那么，可以知道：
$$Tran(\hat{i})=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],Tran(\hat{j})=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$$
于是可以直接写出线性变换对应的矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

将任意向量左乘该矩阵，就能使其旋转90度，如：
$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right]$$

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用这个视角来看，一个原地不动的线性变换对应的矩阵自然就是单位矩阵，因为：
$$Tran(\hat{i})=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],Tran(\hat{j})=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

直接得到矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$