西方逻辑史简介

西方逻辑史研究，对形式逻辑实现现代化，对加强西方哲学史研究，对开展科学方法论的研究都有重要意义。西方逻辑史一般被划分成古代、中世纪、现代三个历史时期。本文拟对这三个时期中的七个重要逻辑学家和逻辑学派：亚里士多德、斯多葛、中世纪、莱布尼茨、布尔、弗雷格、罗素等在逻辑学方面所做的贡献作一概要介绍。

亚里士多德的逻辑学说

亚里士多德（Aristoteles 公元前 384 ~ 322），古希腊伟大的思想家。第一个全面、系统地研究了人类的逻辑思维问题，建立了逻辑科学，成为形式逻辑的创始人。

他写了大量著作。有关逻辑方面的论文在公元前一世纪由他的后继者汇编成册，命名为《工具论》。其中包括：

1、《范畴篇》：主要讨论实体、量、关系、质等范畴。

2、《解释篇》：讨论由对词、句的研究引至关于命题的学说。

3、《前分析篇》：阐明推理。

4、《后分析篇》：讨论证明的性质。

5、《正位篇》（或《论辩篇》）：着重讲明证明的各种方法。

6、《辨谬篇》：正位篇的续，专门剖析和驳斥论辩。

亚里士多德对范畴和概念、命题、推理以及思维规律都作出了基本的贡献。以下作简要介绍：

关于范畴和概念：范畴是科学中最基本、最一般的概念，是人们的思维对事物的普遍、本质的概括和反映。亚里士多德第一个对范畴作了系统、深入的研究，把它看作是对客观事物的不同方面进行分析归类而得出的基本概念。在《工具论》的《范畴篇》以及《形而上学》中有详尽论述。他提出十个范畴。

1、实体。分为第一性实体和第二性实体。

2、数量。如二肘之长。

3、性质。如白的，通晓语法的等属性。

4、关系。如二倍，大于。

5、地点。如在市场，在吕克昂。

6、时间。如昨天、前年。

7、姿态。如躺着、站着。

8、状况。如武装的、穿鞋的。

9、活动。如施手术。

10、遭受。如被施手术、被打、被割等。

它们一方面表明客观物质世界的实体、性质、关系等，同时也是判断中最普遍的谓词。

亚里士多德著作中没有专门的章节讲概念，只散见《形而上学》和《工具论》中。概念一词有双重含义：一作为认识的总结和概括，对于事物的普遍的、本质的属性的反映；另一作为判断的主词、谓词的词项等。亚氏把后面这些词项与判断和推理前提相联，作为它们的组成要素。亚氏认为那种表示范畴的、未经结合的用语或语词、即概念，因为本身没有断定，所以是没有真假之分的，只有当把它们结合起来时，才有真假对错的问题。这些都被吸收进了传统逻辑。

关于命题，亚氏最先系统地研究命题的逻辑。他认为语句表达思想，但是 “并非每一语句都是命题；只有本身含真、假的语句才是命题。” 他进而把命题分类。首先他把命题分成肯定命题和否定命题。在引进量项后，他把命题分成 A、E、I、O 四类。再加上命题的否定，一共有八种形式。在这个基础上他还研究了命题之间的关系。提出了矛盾关系、反对关系、下反对关系等概念。他不仅在语形方面对这几种关系作了规定，而且还从命题真假值角度，考察了命题之间的关系。他指出一个命题与它的相应的矛盾命题，必须一真，一假；一对反对命题不能同真；一对反对命题的矛盾命题可以同真；单称的肯定命题和否定命题必然一真一假；不定的两个普遍命题并非总是一真一假。将前面一些论述结合起来，实际上就是矛盾、反对、下反对关系的严格、完整的定义。后来传统逻辑中的对挡方阵就是以此为基础的。

亚氏还研究了模态命题。波兰数理逻辑家卢卡西维奇，以数理逻辑为工具研究了亚氏的模态体系，对亚氏的工作做了充分的肯定。

关于推理：推理是亚氏逻辑的核心，他的著作对此论述甚多，特别是有关三段论的。亚氏自己也认为主要功绩在于发现了三段论。他说：“在三段论推理上，我没有找到任何前人的著述，因此必须花费巨大的时间和精力来自己创造它。”

亚氏把推理和论证分为三种：证明的推理、辨认的推理和诡辩的推理。证明的推理要求前提的真实性与推理过程的正确性达到真正的统一，如果前提不真，那么谈论一个证明的三段论的形式是否正确也就无意义了。辨认的推理是通过双方的问答从而揭露议论中自相矛盾的一种推理。诡辩的推理则是一种强词夺理。

亚氏主要论述了他的三段论，在《前分析篇》第一卷中详细探讨了三段论的各种有效形式，确定了三个格十四个式，并且制定了三段论的四条规则，以保证三段论推理的正确性。后者经过修改补充，构成了传统逻辑三段论的基本内容。

关于思维规律。有关逻辑思维规律的，主要内容包括在《形而上学》里。在亚氏看来矛盾律是最基本的。亚氏认为：“事物不能同时存在而又不存在”，“任何事物不能既是、同时又非是”。这其实是对矛盾律的本体论解释。关于排中律，他说过：两个相反叙述之间不能有间体，不能都假，必有一真。关于同一律，亚氏说得较少。但是事实上，在《形而上学》中我们能读到有关论述：参加辩难的双方，对 “每一字只能指示一个事物，决不能指示许多事物。” 其实这已经包含了同一律的基本内容。

综上所述，可以看到亚里士多德对概念、命题、推理以及基本思维规律作了系统的研究和阐述，构成了传统逻辑的几乎所有的组成部分，他的逻辑学说是完整的，说他是形式逻辑的创始人是当之无愧的。

斯多葛逻辑

斯多葛逻辑是通过麦加拉学派，特别是斯底尔波、第奥多鲁和弗罗辩论术的传授，由芝诺（Zeno 前 340 ~ 265）创始并由克里西普斯发展完善的。斯多葛逻辑是沿着和亚里士多德逻辑不同的方向发展的。亚里士多德的同时代人斯底尔波，在论证和辩论方面的创造力远远过人，以致几乎整个希腊都乐意跟着麦加拉派，芝诺就是他的最著名的弟子，曾和弗罗同拜第奥多鲁为师。斯多葛学派的第二代首领、芝诺的学生克林瑟斯无多创造，到第三代克里西普斯则成了斯多葛主义的第二创始人，他写了 705 本著作，广为流传，大受推崇，以致有这样的传说：要是诸神也要使用辩论术，那就不会是别的，却恰恰是克里西普斯的辩论术。斯多葛逻辑在他手中具有了固定的形态，逻辑理论由他完成。

斯多葛学派，对于推进形式逻辑的发展主要有两大贡献：第一，初步确立了对于语言的逻辑分析。第二，更重要的是命题逻辑的研究。

关于语言的逻辑分析。斯多葛学派认为（1）有意义的东西或记号，（2）意义，（3）事物，三者既是互相联系的又是互相区别的。记号就是声音，例如‘狄翁’这个声音；事物是指外界存在的对象，例如狄翁这个人，这两者都是物体。第二个因素 “意义” 是非物质的，它是声音所表示的并为我们所理解而存在于我们思想中的东西。在斯多葛术语中，它被称为 “Lecton”，可直译为 “所意谓的东西”。将三者加以区别，这是斯多葛理论的一个基本点，尽管对 “Lecton” 有各种争论，有的认为 “所意谓的东西” 是和思想同一的，有的却认为它就是音。其实在他们看来 “所意谓的东西” 并非是物质的。用弗雷格的说法，它是词语的涵义（Sinn），是客观地被意味的东西。不管怎样，意义的理论是这个学派最有创见的理论，是最值得称道的贡献之一。在他们那里 “意义成了逻辑的主要题材，而且确实成了形式逻辑的唯一主题”。

现在看来，斯多葛学派关于记号、意义和事物之间的根本区别，在许多方面同弗雷格的符号、涵义和指称，卡尔纳普的指号、内涵和外延的区别是相符的。这表明了斯多葛的理论和现代语义学理论极其相似，是逻辑中的重要创新，奠定了一个准确的语义学和句法学的基础。

关于命题逻辑。他们认为：命题是一个自身断定的完全的 Becton。在他们看来：每一命题或是真的或是假的。他们还把命题分为原子命题和分子命题。原子命题中不再含有成分命题，而分子命题则含有成分命题。分子命题又可根据其所用联结词分为假言、选言、联言命题。

斯多葛学派对于蕴涵给出了四种定义：费罗认为一个条件命题真，当且仅当或者其前件的否定，或者其后件在现实世界中真。这和现代的 “实质蕴涵” 完全相同。第奥多鲁则认为条件命题真，要在现实世界中永远真，但不是在一切可能世界中真。克里西普斯的条件命题则是逻辑地真的、即在一切可能世界中都是真的。第四种蕴涵定义说：一个条件命题真，如果它的后件潜在地包含在它的前件之中，这定义较为含混。

由上可见，斯多葛学派的命题逻辑已初步勾画了现代命题演算的轮廓。在某种意义上，现代符号逻辑的命题演算，乃是斯多葛学派命题逻辑的直接的现代发展。

此外，斯多葛学派对悖论也很感兴趣，其中最有名的是 “说谎者” 悖论。相传曾因困致死一位古代逻辑学家。克里西普斯也许写了二十八本有关悖论的著作。

总之，斯多葛学派在逻辑方面是诸多贡献的。但是他历来备受误解和鄙视。直到十九世纪，皮耳士首先发掘了它的命题逻辑，后来卢卡西维奇给予它正确的评价。现在人们已认识到了他们的辉煌成就。波亨斯基认为：“一般地说，他们（斯多葛）到处表现和亚里士多德同样的精神，只是以更为明显得多的形式，那就是形式化逻辑的精神。”

中世纪的逻辑成果

中世纪一般是指公元 476 年西罗马帝国灭亡，至 1640 年英国资产阶级革命为止的时期。这是欧洲封建制形成、巩固到衰亡的时期。从中世纪开始到 12 世纪的彼得・阿伯拉尔（1079 ~ 1142），这一时期主要进行逻辑教学；从 12 世纪到 13 世纪，有更多的人提倡 “现代逻辑”，主张研究新问题，代表人物有大阿尔伯特（1193 ~ 1280），西班牙的彼得（1210 ~ 1277），后者著有《逻辑大全》— 书，前后出了 150 版，有很大影响；第三时期，从威廉・奥卡姆（死于 1349）至中世纪结束。这是完成时期，此时逻辑研究成果累累，孕育了数理逻辑。下面介绍四个方面的成果。

—、非范畴词理论：中世纪逻辑学家在考察命题成分时，将它们分成两类；范畴词和非范畴词。范畴词即严格意义下的词项，能作主词、谓词，有独立意义；非范畴词要结合范畴词才能表意，自身无独立意义，如 “凡”、“有的”、“并且”、“如果…… 则” 等。前者是命题的实质成分，指称某个对象，后者是命题的形式成分，通常无所指。萨克森的阿尔伯特对非范畴词论述较全。他认为 “非范畴词是这样的词项，按其正常用法，它在直言命题中不能作主词、谓词。”“例如‘每一个’、‘无一’、‘有的’等，” 它们或为全称记号，或为特称记号。‘否定’也是如此，其它如‘并且’、‘或’等都是非范畴词。

从现代观点看来，非范畴词就是逻辑常项或算子（命题联结词和量词）、范畴词相当于逻辑变项。中世纪逻辑学家能看到非范畴词决定命题形式是很精辟的。这说明他们对形式逻辑这门科学的对象有正确的理解。

二、指代理论：中世纪逻辑学家已经明确区分了范畴词的 “意谓” 和 “指代”。“意谓” 是范畴词所具有的独立的涵义，“指代” 是范畴词在命题中代表它所指称的东西。离开了命题，范畴词就无所谓 “指代”，而只有 “意谓”。指代理论涉及量词理论，可以说是现代量词理论的萌芽。

西班牙的彼得说：“指代是一个实名词对某物的解释，指代不同于意谓，因为意谓是经过把意谓某物的作用置于一个声音上而产生的，而指代是已经有意谓的词项对某物的解释。” 威廉・奥卡姆明确说明了指代的特点，指代是命题中词项的一种特点。之所以称为指代，是因为它是对其它一些事物的断定，使得当命题中的词项代替某物时，我们就对那些由这个词项所确定的东西使用该词项。萨克森的阿尔伯特说得更清楚：“指代是命题中的范畴词对某物或一些事物的解释或使用。” 要注意指代是直言命题中主词和谓词之间的一种 “语法” 关系，而不是词项与它的所指对象之间的 “语义” 关系。也可以说指代是直言命题中主谓词的外延之间的关系。

在此基础上，他们还将指代分为实质指代和形式指代，又将形式指代分为简单指代和人称指代等，并且还制定了规则。这样就为进一步研究命题逻辑、词项逻辑提供了条件。

三、命题逻辑：直言命题的真值条件是以上述指代理论为基础的。布里丹说：“对于肯定的直言命题为真，其必要条件是，词项即主词和谓词代表同样的东西。”“确实，在语句‘A 是 B’中，词项‘A’或不代表任何东西，或代表 A，‘B’也如此……。说，‘A 是 B’等于说 A 是 B 所是的同样东西。如果这是真的，那么由此得：‘A’是‘B’这些词项代表同样的东西。” 在此基础上，还分别说明了 A、E、I、O 的真，以及复合命题的真值条件。他们认为：“对于合取命题的真，需要两肢皆真；对于析取命题真，其充分必要条件为一肢真。” 对于假言命题的真值条件，中世纪逻辑学家议论较多，他们一般认为，一个真的假言命题就是 “推论”，因此确定假言命题的真值条件，就等于要定义 “推论” 这个词项。他们提出的意见很多，主要是两种，第一种意见认为：如果一个假言命题是真的，则前件真而后件假是不可能的。它也被称为 “简单推论”。萨克森的阿尔伯特就是如此主张的。这种推论的有效性是无限制的。第二种意见认为；如果一个假言命题是真的，则后件的否定同前件不相容，即并非前件真而后件假。这就是 “当下推论” 这种推论的有效性要受时间因素的限制，是相对于某一时刻的。对条件联结词相当的理解如下：

在此基础上，他们又构造了两・套命题逻辑系统：简单蕴涵系统和当下蕴涵系统，这是中世纪逻辑学家的杰出贡献，他们把斯多葛麦加拉学派的命题逻辑推向新的高峰。

中世纪词项逻辑也有些成就，但与命题逻辑相比要逊色得多。

四、语义悖论：中世纪的逻辑家把悖论命题称为 “不可解命题”。按阿尔伯特的说法，是指这样的一个命题：“它由一个逻辑矛盾构成，不管承认矛盾的哪一方，对立的一方就可得出来。” 他们在研究不可解命题的过程中，发现了一大批类似说谎者悖论的语义悖论，并探讨了解决的途径，为解决这些悖论，他们提出了拒斥、限制、解析等方法，方法很巧妙。他们卓越的成果已被吸收进现代的逻辑语义学中。

总之，中世纪逻辑尽管有它繁琐、停滞的一面，但他们取得的许多光辉成果在逻辑史上将永放光芒。

莱布尼茨

莱布尼茨（Leibniz1646 ~ 1716）德国著名的哲学家、数学家、逻辑学家，是数理逻辑创始者。

莱布尼茨学识渊博，对哲学、物理、工程、生物、历史、语言等都有深入的研究。他与牛顿几乎同时创立了微积分。

主要著作：1. 《单子论》2. 《人类理智新论》。他的逻辑问题的论述主要是在以上作品以及一些短篇文章和通信中。

在他之前，数学家笛卡尔和霍布斯也曾提出过 “普遍数学” 的设想，但没有去实地尝试构造。莱布尼茨年轻时就认为逻辑可能与数学相匹配，因此在他脑海中迫切希望创造新逻辑。他有一个巨大的计划，要建立一种理想的 “通用语言”，利用它来进行推理。在二十岁以前所发表的早年著作《论组合术》中，就提出过改革逻辑的两次计划。其一是创立一套通用语言，以消除现存语言的局限性、不规则性。其二是设计一套推理的普遍演算，把它作为工具去处理通用语言，规定变换规则、运算规则，使逻辑演算按确定的办法进行。这个看法对现代形式逻辑的发展是十分重要的。尽管这两件事没有得到实施，但是其功能已为今天的数理逻辑家部分地加以实现了；也许今天的数理逻辑学家并没读过莱布尼茨的作品，但是他们的研究工作大体上还是沿着莱氏所指方向进行的，为此大家承认莱布尼茨是现代形式逻辑的首创者。

他终身努力的主要动机可以从他自己的一段话中看出。他说：“我们要造成这样的一个结果，使所有推理的错误都只成为计算的错误，这样当争论发生的时候，两位哲学家和两位计算家一样，用不着辩论，只要手里拿起他们的铅笔，坐在计算器前，面对面地说，让我们来计算吧！”

他的具体设想是这样的。所有概念都可归约为几个确定的基本概念，这些基本概念则构成 “思想的字母表”；通过相乘，可由基本概念得出复合概念；基本概念之间不得自相矛盾；以此出发，莱氏力图构造形式的演绎逻辑。他认为：“我们所有的推论都只不过是书写符号的联结和代换，而这些符号是代表词语、标记还是图像则可以置之不顾。”

莱布尼茨开始以素数代表基本概念，复合概念由它们的乘积代表，而逻辑的演算则只是算术的乘法。例如：以素数 3 代表 “思维的”，素数 7 代表 “动物”，则 “人” 作为 “思维的动物”，应以 21=3・7 表示。根据莱布尼茨的约定：所有知识是分析的。所有有效谓词都包含在主词之中。命题 “所有 A 是 B” 为真，如果代表概念 A 的数，可以被代表 B 的数除尽。

莱氏在文章中还用符号陈述了四种命题 A、E、I、O 如下：

A、所有 A 是 B：AB=A 或 A（－B）=0

E、所有 A 不是 B：AB=0

I、有些 A 是 B：AB≠0

O、有些 A 不是 B：AB≠A 或 A（－B）≠0

其中 AB 表示既是 A 又是 B 的类，莱氏还正确地推导：如果 AB=A（所有 A 是 B），YAB=YA（有些 A 是 B）；但是如果 AB=A，不能推出 YAB≠YA。因为如果 Y=B，仍可有 YAB=YA，这是他最为成功的陈述。他的计算原则是这样的：

1、包含在某个变化的字母中的任何事物，也包含在满足同样条件的另外的字母中。例如：由于所有 ab 是 a 为真，因此，所有 bc 是 b 以及所有 bed 是 bc… 为真。

2、字母可以对换；例如 ab 和 ba 是同样的。

3、重写字母是可以的

4、把任何数目的主语联成一个主语，把任何数目谓语联成一个谓语，可以组成一个命题：因此：a 是 b，c 是 d，e 是 f，可以换为 ace 是 bdf…

5、任何多于一个谓词的命题，可以分成若干命题，其中主语与原命题同，谓语是已知谓语的一部分。如果所有 a 是 bcd，那么可分成所有 a 是 b，所有 a 是 c，所有 a 是 d 等。

以上介绍了莱氏的数理逻辑方面的工作，其实他对传统也是作了深入研究的，他对三段论是赞叹不止的，他说：“我认为三段论的发明乃是人类精神最瑰丽、也是最重要的发现之一”，通过研究，他也作了补充，但是他主要贡献还是在数理逻辑方面。

莱氏尽管没有能建立符号逻辑的体系，但是他为建立数理逻辑却作出了许多贡献，“人们提起莱布尼茨的名字犹如谈到日出。他使亚里士多德逻辑开始了‘新生’，…… 这种新东西是什么呢？就是把逻辑加以数学化的思想。”

布尔的逻辑代数

布尔（G，Boole 1815 ~ 1864），英国著名数学家，创建了以他命名的逻辑代数系统，成为继莱布尼茨之后数理逻辑又一创始者。

主要著作：

1、《逻辑的数学分析，论演绎推理演算》，发表于 1847 年。

2、《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》。发表于 1854 年。

随着数学的发展，逻辑学家中逐步酝酿逻辑的数学表示。莱布尼茨首先看到了这种可能，他把逻辑中的合取和析取与数值的加法和乘法作了比较，看到了它们之间的共同之处，但是始终没有找到精确有效的表达方法，布尔不仅也看到了这一点，并且凭他卓越的才干，创建了代数系统，完成逻辑演算工作。“我们能够在布尔的划时代的著作《逻辑的数学分析》中找到一种示范形式展开的清晰表达，这方面它是优于许多后人著作的，其中包括罗素的《原理》”，这是著名现代的逻辑史家波亨斯基对他的评价。

布尔是这样描述他的系统的，他认为作为推理体系的语言的所有运算，都可以由符号构造出来。该系统有

1、文字：X、Y 等

2、运算符号：＋、－、× 等

3、相等符号：=。

把 X、Y 叫做选取符号。X 代表在论域中选取所有 X 的结果，Y 代表选取所有 Y 的结果，以 XY（即 X×Y）表示相继两次选取运算的结果，组成既是诸 X 又是诸 Y 的物的类。这样的选取运算，作用的结果与次序无关，即‘既是 X 又是 Y’的类与‘既是 Y 又是 X’的类是一样的。可用下列公式表示

1、XY=YX

同样的分析可得以下公式

2、XY=X

这称为指数律，它是不同于普通代数运算的重要的规律。布尔还用符号‘＋’作为词语 “或… 或…” 所表达的集合运算的记号。这样 X＋Y 意指‘或是诸 X 或是诸 Y’的事物的类。除外运算由减号表示，这样就还可得其它一些规律。

3、X＋Y=Y＋X

4、Z（X＋Y）=ZX＋ZY

5、Z（X－Y）=ZX－ZY

6、X－Y=－Y＋X

7、如果 X=Y，那么 ZX=ZY

Z＋X=Z＋Y

X－Z=Y－Z

显然，上述诸项，至少有相当部分与普通代数运算是一致的。

布尔不仅构作了代数系统，而且也十分明白地对系统作了逻辑的解释。他认为通过分析可以看清楚，一个系统可以作多种解释，并不影响所涉及的关系的真实性。事实上他对自己的系统作了类演算、命题演算的解释。

关于类演算：布尔把 1 看作全类、把 0 看作空类，将乘、加分别看作合取、析取后，论证了它们也满足七条规律，并用之处理了传统的逻辑问题。

例 1：关于矛盾原理。矛盾律断言：对于任何事物，它既具有某一性质，又同时不具有这一性质是不可能的。布尔从指数律 X2=X 出发，推得 X2－X=0。

X（1－X）=0

将符号 X 看作具有某种性质，那么（1－X）就是不具有某种性质，所以上列方程表示；同一事物，既具有某种性质而又不具有某种性质，是不可能的。这就是矛盾原理的代数表示式。

例 2、关于三段论，布尔把所有 Y 是 X 表示成

Y（1－X）=0

所有 Z 是 Y 表示成

Z（1－Y）=0

然后，使用自己的展开方法，可以消去 Y，解得方程

Z（1－X）=0

它的含义就是：所有 Z 是 X。这样布尔就用他的纯粹代数方法，取消了三段论两前提的中项，得出了三段论的结论。

布尔还把他的代数系统作了命题演算的解释。命题只能接受真、假两种可能情况。真用 1 表示，假用 0 表示。这样复合命题的真假就可以通过布尔的演算由成分命题的真假唯一确定。这就是现代所用的真值表的方法。采用这种方法，不仅能处理传统逻辑中的问题，而且还能处理传统逻辑极难处理的问题。布尔自己就举出了将近二十个例子。现引其中之一。设有四种性质 a、b、c、d 经实验知

1、如果 a、b 同时出现，则 c、d 必有且只有一出现；

2、如果 b、c 同时出现，则 c、d 或同时出现或同时不出现；

3、如果 a、b 均不出现，则 c、d 也均不出现；

4、如果 d 均不出现，则 a、b 也均不出现。

问如何由 b、c 决定 a。显然，传统逻辑对此是无能为力的，使用布尔代数，可以得到正确答案：当 b 不出现而 c 出现时，a 必出现；反之当 a 出现时，b 和 c 中必有一出现。

当然布尔当时所建的系统，由于过于追求数学化，并且采用了排斥析取，使问题的解答过程过于复杂，带来了一些不必要的麻烦，这为后人所克服。但是不管怎么说，布尔确实建立了一个完整的代数系统，并且作了逻辑解释、这样就为现代形式逻辑的发展奠定了基础。

弗雷格的贡献

弗雷格（G. Frege1848 ~ 1925），生于德国，1874 年在耶拿

2、《算术基础 —— 对数概念的逻辑数学研究》（1884）

3、《算术的基本规律》（1893）

弗雷格的主要贡献如下：关于演绎体系的构造：在他以前逻辑学家所考虑的主要是像几何学那样，如何由公理推出定理。而并未把逻辑学本身也表示为一个由公理和定理推导出的演绎体系。他的方法的基础是系统地列举一些有关简单命题的可能的真值，并进而列举它们所有可能列举的真值，用它明晰地定义各种真值函项关系，由此确立简便的演算规则，构造了最早的命题逻辑的公理系统。

在他的命题逻辑系统里，初始概念是否定和蕴涵两常项，有六条公理，两条推理规则。六条公理是

两条推理规则是分离规则和代入规则。

在此基础上引进了量词，再增加三条公理和两条推理规则就构成了一阶谓词演算。三条公理是：

弗雷格还区分了一阶逻辑和二阶以及高阶逻辑。他用一条垂直短线加上一条水平短线 —— 表示右方的记号或记号组会（代表命题）是被断定的；垂直短线 “∣” 称为判断短线，水平短线 “－” 称为内容短线。把连结两条水平短线的垂直短线称为条件短线。

由于他的符号较为难懂，因此他的著作长期不为人采用，对逻辑界影响较少，直到罗素大力提倡后才为人们重视。

关于涵义和指称。弗雷格从考察专名和摹状词着手，区别了名称的涵义和指称。名称的涵义是名称所表达（意谓）的东西；名称的指称是名称所指的事物。弗氏指出 “昏星” 和 “晨星” 有不同的涵义，但有相同的指称 —— 金星。然而规定了所有真命题指称为真，所有假命题指称为假。他提出了外延论题：命题的指称是它的真值，当某个命题的成分用具有同样指称而不具同样涵义的等价式替换时，其真值不变。例如：从 “晨星是太阳所照耀的物体” 替换为 “昏星是太阳所照耀的物体” 后，意义是变化了，但其真值不变。弗氏的涵义和指称理论对于现代逻辑语义学的形成有重要影响，许多论述被现代语义学采用。

最后我们还要说一下弗雷格的数学可以归结为逻辑的思想。他认为算术连同其它数学都可以化妇为逻辑，并且致力他的引人注意的发现。这就是后人所称为的逻辑主义思想。一般来说，算术是数学中的最基本部分，其它数学都可以用适当的办法划归为算术。故如何从逻辑导出算术这是最重要的问题。为此他着力研究了自然数的纯逻辑定义的问题。他提出了解决的方法：先通过一一对应定义两个集合的等价，然后把集合 α 的基数定义为所有等价于集合 α 的集合。这样就定义了自然数，使得算术的定律可以转换成逻辑的定律。从而推导出许多定理。但是由于存在着罗素悖论，他的从逻辑到数学的想法并未实现。尽管如此，他的理论在逻辑史上发挥的巨大作用是不容抹煞的。

现代逻辑的巨匠 —— 罗素

罗素（B. Russell 1872 ~ 1970）英国现代著名的哲学家、数理逻辑学家。曾于 1950 年获得诺贝尔文学奖金。他在数学基础和数理逻辑两方面，基本上总结了前期的成果，并且作出许多创造性的贡献，对现代逻辑学的发展起了很大的推动作用，他集现代符号逻辑之大成，被誉为符号逻辑发展的金字塔。他在逻辑方面的主要著作有：

1、《数学的原则》（小数学原理）发表于 1903 年。

2、《以类型论为基础的数理逻辑》发表于 19 昍年。

3、《数学原理》（与怀特海合著，共三卷，）发表于 1910 ~ 1913 年。

4、《数理哲学导论》发表于 1919 年。

他的主要成就介绍如下：

展开命题演算系统。再在此基础上加以扩充后展开谓词演算系统，这样他就在逻辑史上第一个建立了完全的两个演算系统，这些还一直沿用至今。

2、建立类型论，历史上很早就发现了说谎者悖论。到 1897 年意大利数学家布拉里－弗蒂（Burali－Forti）再度发现了它，康托于 1899 年发现了集合论中的最大基数悖论。这些都没引起逻辑学家和数学家的足够重视，因为它们或对当代的数学和逻辑研究关系不直接，或因为用到的概念不是基本的。但是到了 1901 年，罗素发现了 “一切不是自己分子的类所合成类” 的自相矛盾后情况就不一样了，由于他只用了最基本的概念：类和属于关系。这引起了数学界、逻辑学界极大的震动。弗雷格甚至感到他的一生事业将告失败。罗素尽管自己发现了悖论，但对他自己来说，能否解决悖论问题，也是一个严峻的考验。他积极研究，逐渐发展了类型论。

罗素正确地指出，悖论产生的根源在于下列假设：一类事物可以包括本类的整体作为分子。承认这种 “不合法的整体” 就要引起 “恶性循环错误”，导致矛盾。他把类或谓词（使该谓词为真的全体外延组成的集的意义之下）分为不同类型时：

类型 0：个体

1：个体的类

2：个体的类的类

3：个体的类的类的类

等等。并且认为只有在适当的类型之间才能有属于关系。只能考虑类型 n 的对象是否属于类型 n＋1。这样当然不能考虑某一类是否属于该类本身的问题。从而可以排除康托、罗素悖论。这种简单类型论已为大家公认。罗素为了进一步克服其它一些悖论（如理查德悖论）时，还提出了分支类型论，但是由于问题较多，一直没有被大家承认。

3、在逻辑与数学的关系方面，他也提出了逻辑主义的主张。弗雷格和罗素都提出了数学和逻辑相同，数学可以从逻辑推导出来的主张。罗素走得更远。罗素认为 “逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年和壮年没有截然的分界，数学就是逻辑”。并且还详尽地作了推演，成果反映在《数学原理》之中。由逻辑要推出数学看来问题不少。在书中，人们可以清楚地看到，逻辑要想推出数学，必须借助两条公理：无穷公理和乘法公理。所谓无穷公理，就是要承认宇宙间的个体的个数是无穷的。罗素本人对此也持怀疑态度，他说，在他的逻辑体系中能够导出 “全集与空集不同”，是因为无形中假设了 “至少存在一个个体”，这个假定，在他看来是破坏了逻辑的 “纯粹” 味道的，这是他系统的缺点。乘法公理也叫选择公理，这也涉及到与无穷有关的断定，这也是一个与数、量有关的存在假定，不是思维的规律，不能看作是逻辑。

无穷公理和选择公理确实显示了逻辑和数学的紧密相联和区别。单纯从逻辑推不出数学，至少要增加这两个公理（其实对增加了此两个公理后能否推出数学，看法也还是不同的），可见数学和逻辑并不同，这样罗素的逻辑主义主张是失败了。但是他做的大量工作却显示了逻辑和数学之间又是密切相联的。这是科学的，这是罗素的一个十分重要的贡献。

4、关系逻辑和摹状词理论。关于关系的理论，是古典逻辑和现代逻辑的根本区别，罗素总结了前人的成果，建立了完全的关系逻辑，无论对数学研究和日常思维都有重要意义。哥德尔也说 “新的工具丰富了数理逻辑。”

罗素对摹状词理论也作出了重要的贡献。摹状词是指某一个具有某种性质的事物，它所指称的事物应是唯一的。当摹状词所需要的唯一性不存在时，含有它的命题的意义可以有不同的理解。弗雷格，皮亚诺都讨论过摹状词理论。罗素的摹状词理论成了后来研究的基础。

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发布时间：83 年 08 月 28 日

朱水林

• 西方逻辑史简介（上）

  https://worldscience.cn/c/1983-08-28/645100.shtml

• 西方逻辑史简介（下）

  https://worldscience.cn/c/1983-09-28/645034.shtml