动态规划-基础（斐波那契数、爬楼梯、使用最小花费爬楼梯、不同路径、不同路径II、整数拆分、不同的二叉搜索树）

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。
动态规划问题，五步走：
状态定义：确定 dp 数组，下标及其含义
状态转移：
初始化：
遍历顺序：
返回值：
动态规划代码有问题分析
举例推导状态转移公式
打印 dp 数组日志

1.斐波那契数

题目链接：509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 30

代码：

    /**1. 状态定义：dp[i]为斐波那契数列的自变量i，dp[i] = F(i)2. 状态转移：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 14. 遍历顺序：正序5. 返回形式：dp[n]*/public int fib(int n) {if(n == 0 || n == 1) {return n;}int a = 0, b = 1,sum = 0;for(int i = 2; i <= n; i++) {sum = a + b;a = b;b = sum;}return sum;}

2. 爬楼梯

题目链接：70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

提示：

1 <= n <= 45

思路：

代码：

    /**1. 状态定义：到达第 i 个台阶，有 dp[i] 中方法2. 状态转移：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]3. 初始化：dp[1] = 1 dp[2] = 2  注意题中要求 n ！= 04. 遍历顺序：从前往后5. 返回值：返回 dp[n]*/public int climbStairs(int n) {if(n < 2) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];}return dp[n];}

3. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

2 <= cost.length <= 1000

0 <= cost[i] <= 999

思路：

代码：

    /**1. 状态定义：到达 i 位置最小花费 dp[i]2. 状态转移：dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 0 前两个台阶是直接到达的，不花费4. 遍历顺序：从前往后5. 返回值：dp[cost.length]*/public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int len = cost.length;int[] dp = new int[len + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for(int i = 2; i <= len; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[len];}

4. 不同路径

题目链接：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路：

代码：

/**1. 状态定义：dp[i][j] 表示从 (0,0) 到 ()2. 状态转移：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]3. 初始化： 行：dp[0][j] = 1, 列：dp[i][0] = 14. 遍历顺序：从左到右，从上到下5. 返回值：dp[m][n]*/
public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];// 初始化for(int i = 0; i < m; i++) {dp[i][0] = 1;}for(int j = 0; j < n; j++) {dp[0][j] = 1;}// 遍历打印for(int i = 1; i < m; i++) {for(int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];
}

5. 不同路径 II

题目链接：63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length

• n == obstacleGrid[i].length

• 1 <= m, n <= 100

• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

思路：

代码：

    /**1. 状态定义： dp[i][j] 表示到达 (i,j) 位置有多少种走法2. 状态转移：条件：obs[i][j] = 0 时才有这个方程，表示这个位置没有障碍物dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]   3. 初始化：条件：当 obs[i][0] = 0 时，才有 dp[i][0] = 1当 obs[0][j] = 0 时，才有 dp[0][j] = 1  4. 遍历顺序：从上到下，从左到右5. 返回值：当初始位置或结束位置 obs 为 1 时，表示有障碍，直接返回 0，正常情况下返回 dp[m][n]*/public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.length; // 行int n = obstacleGrid[0].length; // 列if(obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) {return 0;}int[][] dp = new int[m][n];// 初始化for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {dp[i][0] = 1;}for(int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {dp[0][j] = 1;}for(int i = 1; i < m; i++) {for(int j = 1; j < n; j++) {if(obstacleGrid[i][j] == 0) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}}return dp[m-1][n-1];}

6. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

思路：

代码：

    /**1. 状态定义：对 i 进行拆分，得到最大的积为 dp[i]2. 状态转移：dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j * dp[i-j]));3. 初始化：dp[0] = 0,dp[1] = 0,dp[2] = 24. 遍历顺序：从前向后5. 返回值：dp[n]*/public int integerBreak(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= i-j; j++) {dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));}}return dp[n];}

7. 不同的二叉搜索树

题目链接：96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3

输出：5

示例 2：

输入：n = 1

输出：1

提示：

1 <= n <= 19

思路：

代码：

/**1. 状态定义：dp[i] 表示输入 i，有 dp[i] 种不同的二叉搜索树2. 状态转移：dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]3. 初始化：dp[0] = 1, dp[1] = 14. 遍历顺序：从小到大5. 返回值：dp[n]
*/
public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];
}2. 背包问题