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数学建模评价类模型—层次分析法（无数据情况下）

news 2025/10/25 17:11:51

目录

前言

一、评价类问题概述

二、AHP建模流程

1、过程描述

2、层次分析法—Matlab代码

三、权重计算

1、算术平均法

2、几何平均法

3、特征值法

目录

文章目录

前言

一、评价类问题概述

二、AHP建模流程

1、过程描述

2、层次分析法—Matlab代码

三、权重计算

算术平均法

前言

本文将讲解解决评价类问题的第一种模型层次分析法（AHP法），首先我们会具体讲解评价类问题解答的具体流程再对AHP方法进行讲解

一、评价类问题概述

评价指标本身的数学量化，评价指标之间的数学综合

基本流程：明确主体—>指标明确—>权重计算—>方案评价

明确主体：明确哪里可以用到评价，比如：2012对《葡萄酒的评价》这里葡萄球的等级就是可以用到评价的地方

指标确定：可以通过一个思维导图的方式来画出这个指标系统。先确定方向（通过查找文献和头脑风暴），然后再向下细化

权重计算：使用主观权重法和客观权重法，每个指标都要进行归一化

方案评价：得到权重后，再对结果进行进一步分析

二、AHP建模流程

1、过程描述

1、建立层次结构模型：

目标层（决策的目标，如：选出微博之星）

准测层C={C1，C2，···，Cn}（考虑的因素，实质上就是评价指标）

方案层P={P1，P2，···Pm}（决策对象，如：微博之星又A，B，C三个人可选择）

2、构造判断矩阵

对于准则层中的每个元素Ci（i=1，2，···，n)，构造一个关于方案层P中各个元素两两比较的判断矩阵Ai(mxm),其中元素aij表示因素Pj相对于因素Pi的重要性程度。通常使用1-9的比例标度来表示这种重要性程度。易得aij*aji=1，所以在写判断矩阵时可以只写一边矩阵再对应填另一边

注意：这个地方常常会出现嵌套分层，也就是说可能每个Ci可能会单独对应某些Pi，这个时候要再构造一次判断矩阵，本质上就是先聚类（将单个指标因素按照关联度和相似度分为互不影响的几大类）再使用层次分析法

例如：下面我们将问题分成了三层，其中，我们将指标首先分为互不影响的三大类：通行能力，安全性，便捷度，首先对这三类构造判断矩阵，进行一致性检验，算出这三大类的权重；然后又讨论影响这三大类的因素，在每一大类中，对其中的影响因素再构造相应的判断矩阵，并且检验其一致性，再算出每个因素的权重，最后再计算出每个具体因素的总权重，进行评价分析。

3、层次单排序及一致性检验

对于每个判断矩阵Ai，计算其最大特征根λmax和对应的特征向量Wi，对特征向量Wi进行归一化处理（其实就是特征向量/n）
得到准则层Ci下各因素的权重向量wi = (wi1, wi2, ..., wim)。
计算一致性指标CI 和随机一致性指标RI（可在网上查到），进而计算一致性比例CR = CI / RI。
如果CR < 0.1，（这里只有CI越小CR才能越小，故当λmax—>n时，我们认为矩阵Ai越接近一致矩阵）则认为判断矩阵Ai具有满意的一致性

，CI通过上述公式求出，同时Xmax即为最大特征根，n为评价指标个数

整个过程可概括为下面的流程图

2、层次分析法—Matlab代码

%层次分析法-一致性检验
A = input('判断矩阵A=');%输入判断矩阵
[n,n]=size(A); %获取A的行和列%求出最大特征值以及对应的特征向量
[V,D]=eig(A); %V是特征向量 D是特征值构成的对角矩阵
Max_eig = max(max(D)); %先求出每一行的最大值，再求出最大值中的最大值，即为最大特征值CI = (Max_eig - n)/(n-1);%求出一致性检验指标%网上查表可得
RI=[0,0.0001,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59];%注意RI最多支持n=15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);if CR<0.1disp('因为CR<0.01,所以该判断矩阵A的一致性可以接受！');
elsedisp('注意：CR>=0.10,因此该判断举证A要进行修改！');
end

三、权重计算

1、算术平均法

%1.算术平均法计算权重
%输入样例，将前面的判断矩阵输入即可，此处省略
Asum=sum(A,1);%将A的每列求和赋值到Asum中
Ar = repmat(Asum,n,1);%复制Asum n行1列为Ar矩阵,使得Ar又变回了n行n列的矩阵
stand_A=A./Ar;%归一化处理，./表示对应的元素相除
ASumr = sum(stand_A,2);%再对归一化处理后的矩阵的每列加到同一行
disp(ASumr/n);%相加后的每个元素/n得到权重向量(nx1)

2、几何平均法

A = input('判断矩阵A='); %输入判断矩阵
[n,n] = size(A); %获取A的行和列
prod_A = prod(A,2); %将A中每一行元素相乘得到
一列向量
prod_n_A = prod_A.^(1/n); %将新的向量的每个分量开n
次方等价求1/n次方
re_prod_A = prod_n_A./sum(prod_n_A);%归一化处理
disp(re_prod_A); %展示权重结果

3、特征值法

A = input('判断矩阵A='); %输入判断矩阵
[n,n] = size(A); %获取A的行和列
%求出最大特征值以及对应的特征向量
[V,D] = eig(A); %V是特征向量 D是特征值构
成的对角矩阵
Max_eig = max(max(D)); %先求出每一列的最大值，
再求最大值中的最大值
[r,c] = find(Max_eig == D,1);%使用find()函数找出最大
特征值对应的特征向量的位置（索引）
%对特征向量进行归一化得到所需权重
disp(V(:,c)./sum(V(:,c)));

前言