湖北汽车工业学院-高等数学考纲

湖北汽车工业学院2024年普通专升本考试的《高等数学》考试大纲已经公布。考试形式为闭卷笔试，满分100分，考试时间为90分钟。考试内容主要包括以下几个部分：

1. **函数、极限、连续**：

涉及函数概念、表示法、有界性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念，基本初等函数的性质及其图形，数列极限和函数极限的概念，无穷小与无穷大的概念，极限的性质，函数连续性的概念等 。

函数是数学中的一个基本概念，用于描述一个变量随另一个变量变化的规律。以下是函数及其相关概念的简要介绍：

什么是变量？

变量是数学、计算机科学和许多其他领域中的一个基本概念，用于表示可以取不同值的量。以下是变量的一些基本特征：

1. **定义**：

   - 变量是一个符号，通常用字母表示，代表一个数值或对象，它可以在不同情况下变化或“变”化。

（变量的值在一定条件又会变成一个常量值！）

2. **数值变量**：

   - 在数学中，变量通常用来表示数值，可以参与各种数学运算，如加、减、乘、除等。

3. **数据类型**：

   - 变量可以是不同的数据类型，例如整数、实数、复数等。

4. **变量的作用域**：

   - 在编程中，变量有定义的作用域，即它们可以被访问和修改的代码区域。

5. **局部变量和全局变量**：

   - 局部变量仅在定义它们的函数或代码块内部有效，而全局变量可以在整个程序范围内访问。

6. **变量的赋值**：

   - 可以给变量赋予一个特定的值，这个过程称为赋值。例如，在编程中，`x = 5` 表示将数值5赋给变量x。

7. **变量的声明**：

   - 在编程中，声明变量是创建变量并指定其类型的过程，例如 `int x;` 声明了一个整型变量x。

8. **自由变量和约束变量**：

   - 在数学中，自由变量是在方程中未被约束的变量，而约束变量的值是由其他方程或条件确定的。

9. **变量的依赖性和独立性**：

   - 在函数中，自变量是独立变量，可以自由选择；因变量是依赖变量，其值依赖于自变量的选择。

10. **变量名的命名规则**：

    - 在编程中，变量名应遵循特定的命名规则，以提高代码的可读性和避免错误。

变量是解决问题和表示数学关系的基础工具，无论是在理论研究还是在实际应用中都非常重要。
 

1. **函数概念**：

   - 函数是一个规则，将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量）。

2. **表示法**：

   - 函数通常用 \( f(x) \) 表示，其中 \( f \) 是函数名，\( x \) 是自变量。函数也可以通过方程 \( y = f(x) \) 来表示。

3. **有界性**：

   - 有界性指的是函数的值在一个特定的区间内。如果存在一个实数 \( M \)，使得对于所有 \( x \)，都有 \( |f(x)| \leq M \)，则称函数 \( f \) 是有界的。

（知识和哲学不可能凌驾于所有事物之上。）

4. **周期性**：

   - 如果存在一个非零实数 \( P \)，使得对于所有 \( x \)，都有 \( f(x + P) = f(x) \)，则称函数 \( f \) 是周期的，\( P \) 称为函数的周期。

5. **奇偶性**：

   - 奇函数满足 \( f(-x) = -f(x) \)，而偶函数满足 \( f(-x) = f(x) \)。奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。

6. **复合函数**：

   - 复合函数是指两个或多个函数组合成一个新的函数，表示为 \( f(g(x)) \)，其中 \( f \) 和 \( g \) 都是函数。

7. **反函数**：

   - 如果函数 \( f \) 将每个输入映射到唯一的输出，那么存在一个函数 \( g \)，将每个输出映射回其原始输入，\( g \) 称为 \( f \) 的反函数。

8. **隐函数**：

   - 隐函数不是显式地用自变量 \( x \) 的表达式表示，而是通过方程 \( F(x, y) = 0 \) 隐含地定义 \( y \) 作为 \( x \) 的函数。

9. **分段函数**：

   - 分段函数是指在不同的区间上由不同表达式定义的函数，形式如：
     \[
     f(x) = 
     \begin{cases} 
     f_1(x) & \text{if } a < x < b, \\
     f_2(x) & \text{if } b \leq x < c, \\
     \vdots & \vdots
     \end{cases}
     \]

10. **基本初等函数的性质**：

    - 基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。每种函数都有其特定的性质，如单调性、周期性、奇偶性等。

了解这些概念对于深入学习数学分析、微积分和其他数学领域至关重要。
 

2. **一元函数微分学**：

包括导数的概念、基本初等函数的导数公式、高阶导数、微分的概念、中值定理、洛必达法则、函数单调性判别方法、极值、最大值和最小值的求法等 。

3. **一元函数积分学**：

涉及原函数与不定积分的概念、定积分的概念和性质、牛顿－莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法、定积分计算平面图形面积和旋转体体积、广义积分的概念等 。

4. **多元函数微积分学**：

包括多元函数的概念、二元函数的几何意义、极限与连续性、偏导数与全微分的概念、多元函数极值和条件极值的概念、二重积分的概念与计算方法等 。

5. **常微分方程**：

涉及微分方程的阶、解的概念、可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、二阶常系数线性方程的求解方法等 。

参考教材为《高等数学》，同济大学应用数学系编，高等教育出版社出版的本科少学时类型第三版 。