高等数学 第九讲 一元函数积分学的应用

1. 一元函数积分学的应用

1. 几何应用

1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积

三大体系下的图形，直角坐标系和极坐标系直接计算，参数方程转换为直角坐标系再进行计算。

下面给出平面直角坐标系和极坐标系下两条曲线所围成平面图形的面积：

(2)的解释说明:
扇形面积，dθ趋近于0，看成90度，阴影部分面积看成三角形 1/2底*高
高是r₂，底是弧长，弧长=顶角✖️边长=dθ✖️r₂，故 1/2✖️r₂dθ *r₂=1/2 r₂²dθ

1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积

虽然下面给出了公式，但是在具体做题中，发现用处不大，后续冲刺更新复习中，会删掉多余的公式

1.2.1 微分法

经典的做法，但是只能较为有效解决绕x轴，y轴的旋转体的体积，不太推荐。

1.2.2 二重积分法

方法来源于：武忠祥高等数学辅导讲义，利用二重积分来解决旋转体体积的问题。

核心思想:拿出待求面积内的一个小面积记作dσ，将这个小面积旋转，剪开，发现是一个圆柱体，圆柱体体积=底面积*高，底面积就是dσ，高是没剪开的甜甜圈的周长，2派r，其中这个r是，点(x,y)到旋转直线的距离，有公式。
综上，
$$v=底面积\ast 高=\underset{D}{\iint }d\sigma \ast 2\pi r\left(x,y\right)=2\pi \underset{D}{\iint }r\left(x,y\right)d\sigma$$

1.2.3 古尔丁定理

利用第一个古尔丁定理的结论，我们不难得出，重点在于计算形心计算形心有公式。然后在根据点到直线的距离或者观察法计算形心到转轴的距离。

1.2.4 旋转体的体积公式总结

定积分计算旋转体体积公式:

(2)的解释说明:
薄壁柱体(壳体),切开展开得到一个长方体，高是|y(x)|，宽是dx，长是圆的周长2派r，r就是x，故是2派x，长方体体积=长宽高=2派x|y(x)|dx

(3)平面曲线绕定直线旋转

如何使用，就是做差使用，两条曲线围成面积，绕着旋转，就分别求如何作差。

1.3 用定积分表达和计算函数的平均数

1.4 其他几何应用

1.4.1 "平面上的曲边梯形"的形心坐标公式

1.4.2 平面曲线的弧长

三个公式都得背

关于计算弧长时，积分上下限怎么确定，积分下限必是小的，上限必是大的

1.4.3 旋转曲面的面积(侧面积)

先记第一个

综上可知，弧长和侧面积都得保证上下限从小到大

公式使用小总结

在计算面积，体积，弧长，侧面积时，我们会求直角坐标系下的就行，其他坐标系都可以通过换元法转换为直角坐标系。
注意换元有三换，还有就是直角坐标系下的y’，是对应参数方程的dy/dx，也就是 (dy/dt)/(dx/dt)
极坐标系其实也是参数方程，x=rcosθ，y=rsinθ

2. 积分等式与积分不等式(待整理）

3.物理应用

3.1 变力沿直线做功

3.2 抽水做功

物理知识补充既公式推导:
抽水做功公式：w=F_浮h,每一块的h其实就是横坐标，看图，故w=F_浮x,当前进度:w=F_浮x
‌浮力公式:ρgv，v是体积，重点在于确定v,当前进度:w=ρgvx
v是水面一层(类似于硬币)的体积，看成圆柱体，圆柱体v=底面积*高，底面积设为A(x)，故v=A(x)dx,当前进度:w=ρgA(x)xdx
故总结公式为求积分a到b上的w，a是水面，b是水底
问题的关键在于确定x处水平截面面积A(x)，其余的量都是固定的。故拿到题核心在于求A(x)

3.3 静水压力

物理知识补充既公式推导:
压强公式=压力/横截面面积，故压力=压强横截面面积
横截面面积=长宽，长是f(x)-g(x)，宽是dx
压强=pgh=pgx，故公式得证
求解关键是平板的宽度f(x)-h(x)