一文搞懂bfs，dfs和高级图算法

你以为BFS（广度优先搜索）和DFS（深度优先搜索）这两种基础算法，简单到小学数学就能搞定？但真的是这样吗？很多人都这么认为，但真的对吗？今天，我们不只是走马观花般看看这些算法，而是要挖掘出它们背后隐藏的秘密，探究那些被忽略的细节，看看它们是如何在不同场景中大显身手的！

BFS（广度优先搜索）

BFS是什么？很多人觉得它就是一层一层地访问节点，像剥洋葱一样，从根节点到离根节点最远的节点。听起来简单，但这背后隐藏的复杂性可能让你大吃一惊！BFS的真正威力，在于它如何在短时间内找到目标，像是一支箭直达目标。

如何运作？

1. 起点：从根节点开始，首先访问它，并将其放入队列中。
2. 层层推进：每次从队列中取出一个节点，访问它的所有邻居（还没访问过的），并将这些邻居加入队列。
3. 结束：队列为空时，整个搜索过程结束。

示例代码（Python）：

from collections import dequedef bfs(graph, start):visited = set()queue = deque([start])visited.add(start)while queue:node = queue.popleft()print(node)for neighbor in graph[node]:if neighbor not in visited:queue.append(neighbor)visited.add(neighbor)# 示例图表示为邻接表
graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['D', 'E'],'C': ['F'],'D': [],'E': ['F'],'F': []
}bfs(graph, 'A')

DFS（深度优先搜索）

“深度”优先搜索，听上去像是一头扎进了无底深渊，不达目的不罢休。DFS的特点是它像一位执着的探险家，深挖到树或图的最深处，直到无法再深入，然后才回头。它擅长解决那些需要全面探索的问题，但你要小心陷入无尽的循环！

如何运作？

1. 起点：同样从根节点开始访问。
2. 深度探索：选择一个未访问的邻居，继续递归地访问它，直到走到死胡同。
3. 回溯：没有未访问的邻居时，回到前一个节点，继续寻找其他未探索的路径。
4. 结束：所有节点都被访问过时，整个搜索结束。

示例代码（Python）：

def dfs(graph, node, visited=None):if visited is None:visited = set()visited.add(node)print(node)for neighbor in graph[node]:if neighbor not in visited:dfs(graph, neighbor, visited)# 示例图表示为邻接表
graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['D', 'E'],'C': ['F'],'D': [],'E': ['F'],'F': []
}dfs(graph, 'A')

你可能一直认为BFS和DFS是对立的，一旦用错了，问题就无解了。但真的是这样吗？其实，这两种算法就像双刃剑，在特定场景中都有各自的优劣势。BFS适合寻找最短路径，而DFS在某些场景下能节省大量时间！

BFS和DFS的优劣

BFS的优势：

1. 找到最短路径：在无权图中，BFS总能找到从起点到终点的最短路径。
2. 层次分明：BFS可以按照距离进行分层遍历，适合解决很多层次结构的问题。

BFS的劣势：

1. 内存占用高：BFS需要维护一个队列，空间复杂度相对较高，尤其是在大规模图中。
2. 不适合深度搜索：当需要探索较深的层次时，BFS的效率较低。

DFS的优势：

1. 内存占用少：DFS采用递归或栈来维护状态，空间复杂度较低。
2. 探索深层次：适合用来找出所有可能的路径，比如解决迷宫问题，或是进行回溯算法。

DFS的劣势：

1. 无法保证最短路径：DFS可能会先探索一条较长的路径，而忽略了更短的路径。
2. 容易陷入死循环：如果图中存在环，DFS在没有适当处理的情况下，可能会无限循环。

适用场景对比

• BFS适用场景：如果你要解决最短路径问题，或是分层结构清晰的问题，BFS是你的首选，比如无权图的路径搜索、广度遍历树结构等。
• DFS适用场景：当你需要全面探索或者递归问题时，比如迷宫探路、拓扑排序、解决全排列问题，DFS是你的利器。

既然我们已经深入BFS和DFS的内部，接下来就让我们更进一步，看看它们与其他常见算法相比，究竟有何独到之处。你以为算法都大同小异？但真的是这样吗？许多人都在盲目选择，但选择错误往往会导致性能崩溃！

Dijkstra算法

Dijkstra算法，听起来像是个复杂高深的家伙，但它的本质其实就是一个贪婪的小精灵，总是优先选择当前最短路径的节点。它可以看作是BFS的进阶版，只不过它引入了一个重量级的新角色——权重。

如何运作？

1. 起点：从起始节点开始，初始化距离为0，其他节点的距离为无穷大。
2. 选择最近：每次选择当前距离最短的节点进行扩展，并更新邻居节点的距离。
3. 重复直到结束：一旦所有节点的最短路径都确定，算法结束。

示例代码（Python）：

import heapqdef dijkstra(graph, start):priority_queue = [(0, start)]distances = {node: float('infinity') for node in graph}distances[start] = 0while priority_queue:current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)if current_distance > distances[current_node]:continuefor neighbor, weight in graph[current_node]:distance = current_distance + weightif distance < distances[neighbor]:distances[neighbor] = distanceheapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))return distances# 示例图表示为邻接表，包含权重
graph = {'A': [('B', 1), ('C', 4)],'B': [('D', 2), ('E', 5)],'C': [('F', 3)],'D': [],'E': [('F', 1)],'F': []
}distances = dijkstra(graph, 'A')
print(distances)

A*算法

如果Dijkstra是一位稳扎稳打的战士，那么A*（A-star）就是一个充满智慧的战略家，它不仅考虑当前的代价，还会预估未来的“步数”。这种“聪明”的算法在寻路问题中表现得尤为出色。

你以为A算法只是Dijkstra的升级版，只是多了点“聪明”的预估功能？但真的是这样吗？很多人都这么认为，但真的对吗？A算法可不仅仅是加了点调料，它是在迷宫、路径规划等问题中的一把“利刃”，精准、迅速地找到最优解。接下来，我们就来深入了解A*算法，看看它是如何比其他算法更具优势的！

A算法是什么？它不仅考虑当前的路径代价，还引入了一个“启发式函数”（heuristic function），来预估从当前节点到目标节点的代价，从而在保证找到最优解的前提下，尽可能减少搜索的范围。换句话说，A算法总是朝着最有希望的方向前进，它知道自己要去哪，并且不会走冤枉路。

如何运作？

1. 起点：从起始节点开始，计算其实际代价（从起点到当前节点的路径长度）和预估代价（从当前节点到目标节点的估计距离）的总和。
2. 选择最优路径：每次从未访问的节点中，选择实际代价与预估代价之和最小的节点进行扩展。
3. 重复直到结束：当扩展到目标节点时，路径确定，算法结束。

启发式函数（Heuristic Function）
启发式函数是A*算法的核心，它预测了当前节点到目标节点的距离，常见的启发式函数包括：

• 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：适用于网格地图的水平或垂直移动。
• 欧几里得距离（Euclidean Distance）：适用于可以在任意方向移动的情况。
• 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：适用于允许对角线移动的情况。

示例代码（Python）：

import heapqdef heuristic(a, b):# 曼哈顿距离作为启发式函数return abs(a[0] - b[0]) + abs(a[1] - b[1])def a_star(graph, start, goal):# 优先队列（最小堆）priority_queue = [(0, start)]# 跟踪路径代价g_costs = {start: 0}# 跟踪路径came_from = {start: None}while priority_queue:current_cost, current_node = heapq.heappop(priority_queue)if current_node == goal:# 构造最终路径path = []while current_node:path.append(current_node)current_node = came_from[current_node]return path[::-1]for neighbor, cost in graph[current_node]:tentative_g_cost = g_costs[current_node] + costif neighbor not in g_costs or tentative_g_cost < g_costs[neighbor]:g_costs[neighbor] = tentative_g_costf_cost = tentative_g_cost + heuristic(neighbor, goal)heapq.heappush(priority_queue, (f_cost, neighbor))came_from[neighbor] = current_nodereturn None  # 未找到路径# 示例图表示为邻接表，包含权重
graph = {(0, 0): [((1, 0), 1), ((0, 1), 1)],(1, 0): [((1, 1), 1), ((0, 0), 1)],(0, 1): [((1, 1), 1), ((0, 0), 1)],(1, 1): [((1, 0), 1), ((0, 1), 1), ((2, 1), 1)],(2, 1): [((1, 1), 1)]
}start = (0, 0)
goal = (2, 1)
path = a_star(graph, start, goal)
print("A* Path:", path)

比较BFS、DFS与A*的区别与优势

A*算法的优势：

1. 高效性：A*不仅利用了当前路径的代价，还考虑了未来的预估代价，因此能快速找到最优路径，减少不必要的搜索。
2. 灵活性：可以根据不同的场景选择不同的启发式函数，使其适用于多种路径规划问题。

A*算法的劣势：

1. 依赖启发式函数：如果启发式函数选择不当，可能会导致算法效率低下，甚至无法找到最优解。
2. 内存消耗大：由于需要维护较多的状态，A*在内存方面的消耗较大，尤其是在复杂图或大规模搜索空间中。

BFS vs DFS vs A*：

• BFS：最适合无权图中的最短路径搜索，缺点是需要大量内存，处理大图时不适用。
• DFS：适用于需要完全探索的场景，比如回溯问题，优点是内存消耗较低，但无法保证最优解。
• A*：在有权图中表现最佳，特别适合路径规划问题，既能保证最优解，又能通过合理的启发式函数提高效率。

结论

你以为只要掌握了BFS和DFS，算法的世界就尽在掌握？但真的是这样吗？在实际应用中，别让传统的思维束缚了你的算法选择，你将有能力所向披靡！