动态规划（二）——例题

目录

Help Jimmy

题目

解题思路

神奇的口袋

题目

枚举的解法

递归的解法

动态规划的解法

滑雪

题目

解题思路

解法一

解法二

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Help Jimmy

题目

        "Help Jimmy" 是在下图所示的场景上完成的游戏：

        场景中包括多个长度和高度各不相同的平台。地面是最低的平台，高度为零，长度无限。
        Jimmy老鼠在时刻0从高于所有平台的某处开始下落，它的下落速度始终为1米/秒。当Jimmy落到某个平台上时，游戏者选择让它向左还是向右跑，它跑动的速度也是1米/秒。当Jimmy跑到平台的边缘时，开始继续下落。Jimmy每次下落的高度不能超过MAX米，不然就会摔死，游戏也会结束。
        设计一个程序，计算Jimmy到底地面时可能的最早时间。

输入

        第一行是测试数据的组数t（0 <= t <= 20）。每组测试数据的第一行是四个整数N，X，Y，MAX，用空格分隔。N是平台的数目（不包括地面），X和Y是Jimmy开始下落的位置的横竖坐标，MAX是一次下落的最大高度。接下来的N行每行描述一个平台，包括三个整数，X1[i]，X2[i]和H[i]。H[i]表示平台的高度，X1[i]和X2[i]表示平台左右端点的横坐标。1 <= N <= 1000，-20000 <= X, X1[i], X2[i] <= 20000，0 < H[i] < Y <= 20000（i = 1..N）。所有坐标的单位都是米。
        Jimmy的大小和平台的厚度均忽略不计。如果Jimmy恰好落在某个平台的边缘，被视为落在平台上。所有的平台均不重叠或相连。测试数据保证问题一定有解。

1
3 8 17 20
0 10 8
0 10 13
4 14 3

输出

        对输入的每组测试数据，输出一个整数，Jimmy到底地面时可能的最早时间。

23

解题思路

        Jimmv跳到一块板上后，可以有两种选择，向左走，或向右走。
        走到左端和走到右端所需的时间，是很容易算的。
        如果我们能知道，以左端为起点到达地面的最短时间，和以右端为起点到达地面的最短时间，那么向左走还是向右走，就很容选择了。
        因此，整个问题就被分解成两个子问题，即Jimmv所在位置下方第一块板左端为起点到地面的最短时间，和右端为起点到地面的最短时间。
        这两个子问题在形式上和原问题是完全一致的。将板子从上到下从1开始进行无重复的编号(越高的板子编号越小，高度相同的几块板子，哪块编号在前无所谓），那么，和上面两个子问题相关的变量就只有板子的编号。

        不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子假设LeftMinTime(k)表示从k号板子左端到地面的最短时间，RightMinTime(k)表示从k号板子右端到地面的最短时间，那么，求板子k左端点到地面的最短时间的方法如下：

if（板子k左端正下方没有别的板子){if( 板子k的高度 h(k) 大于Max)LeftMinTime(k) =00;elseLeftMinTime(k) h(k);
}
else if( 板子k左端正下方的板子编号是m){LeftMinTime(k) = h(k)-h(m) +Min( LeftMinTime(m) + Lx(k)-Lx(m) RightMinTime(m)+ Rx(m)-Lx(k));
}

        上面，h(i)就代表i号板子的高度，Lx(i)就代表i号板子左端点的横坐标，Rx(i)就代表i号板子右端点的横坐标。那么 h(k)-h（m)当然就是从k号板子跳到m号板子所需要的时间，Lx(k)-Lx(m) 就是从m号板子的落脚点走到m号板子左端点的时间，Rx(m)-Lx(k)就是从m号板子的落脚点走到右端点所需的时间。
        求RightMinTime（k）的过程类似。
        不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，那么整个问题就是要求LeftMinTime(0）。
        输入数据中，板子并没有按高度排序，所以程序中一定要首先将板子排序。
        时间复杂度：
        一共 n个板子，每个左右两端的最小时间各算一次O(n）
        找出板子一段到地面之间有那块板子，需要遍历板子 O(n)
        总的时间复杂度O(n2） 

神奇的口袋

题目

        有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a1，a2……an。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

输入

        输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1，a2……an的值。

3
20
20
20

输出

        输出不同的选择物品的方式的数目。

3

枚举的解法

        枚举每个物品是选还是不选，一共2的20次方种情况。

递归的解法

#include <iostream>
using namespace std;
int a[30]; int N;
int Ways(int w ,int k){//从前k种物品中选择一些，凑成体积w的做法数目if(w==0) return 1;if(k<=0) return 0;elsereturn Ways(wk-1)+Ways(w-a[k],k -1 );
}int main(){cin >> N;for(int i=1;i<=N;++i)cin >> a[i];cout << Ways(40,N);return 0;
}

动态规划的解法

#include <iostream>
using namespace std;
int a[30];  int N;
int Ways[50][50]://Ways[i][j]表示从前i种物品里凑出体积i的方法数
int main(){cin >> N;memset(Ways,0,sizeof(Ways));for( int i = 1;i <= N;++ i){cin >> a[i];I Ways[0][i]=1;}Ways[0][0] = 1;for(int w=1;w<=40; ++ W){for(int k =1;K <=N;++K){Ways[w][k]=Ways[w][k-1];if( w-a[k] >=0)Ways[w][k]+= Ways[w-a[k]][k-1];}}cout << Ways [40] [N] ;return 0;
}

滑雪

题目

        Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

1  2  3  4  5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

        一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

输入

        输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出 

        输出最长区域的长度。 

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解题思路

L(ij)表示从点（ii）出发的最长滑行长度。
一个点(ii），如果周围没有比它低的点，L(ij）=1
否则
递推公式：L(ij）等于(i.i)周围四个点中，比(ij)低，且L值最大的那个点的L值，再加1
复杂度：O（n2）

解法一

“人人为我”式递推
L(i.j）表示从点（i.j）出发的最长滑行长度。
一个点(i.j).如果周围没有比它低的点，L(i.j)=1
将所有点按高度从小到大排序。每个点的L值都初始化为1从小到大遍历所有的点。经过一个点(i.j)时，用递推公式求L(i.j)

解法二

“我为人人”式递推
L(i,j）表示从点(i,j）出发的最长滑行长度。
一个点(i.j)，如果周围没有比它低的点，L(i,j)=1
将所有点按高度从小到大排序。每个点的L值都初始化为1
从小到大遍历所有的点。经过一个点(ii)时，要更新他周围的，比它高的点的L值。例如：
if H(i+1,j)>H(ij) //H代表高度
    L(i+1,j)=max(L(i+1,j),L(i,j)+1）