【高等代数笔记】003线性方程组的解法（一）

1. 线性方程组的解法

1.1 解线性方程组的矩阵消元法

【例1】解线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ 3x_1+4x_2+2x_3=9\\ -x_1-5x_2+4x_3=10\\ 2x_1+7x_2+x_3=1\end{array}$。
【解】将第一个方程做基础，因为它的$x_1$的系数是1，比较好算，然后把第二个方程的$x_1$的系数变成0，那就把第一个方程的-3倍加到第2个方程，把第一个方程的1倍加到第三个方程，把第一个方程的-2倍加到第四个方程。
第二个方程+第一个方程×(-3)即$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ -5x_2-x_3=3\\ -2x_2+5x_3=12\\ x_2-x_3=-3\end{array}$
然后观察到第四个方程的$x_2$的系数为1，把第四个方程和第二个方程调换一下位置
$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ x_2-x_3=-3\\ -2x_2+5x_3=12\\ -5x_2-x_3=3\end{array}$
把第二个方程的2倍加到第三个方程，第二个方程的5倍加到第四个方程，但是每次写未知量太麻烦，我们写成增广矩阵做，对方程的操作相当于对矩阵的行的操作，也就是将刚才的步骤写成：
$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 3& 4& 2& 9\\ -1& -5& 4& 10\\ 2& 7& 1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& -5& -1& 3\\ 0& -2& 5& 12\\ 0& 1& -1& -3\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& -2& 5& 12\\ 0& -5& -1& 3\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& -6& -12\end{array}\right)（第三行的2倍加到第四行）⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
到这个程度的时候，我们写出相应的方程组：
$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ x_2-x_3=-3\\ 3x_3=6\end{array}$
这种形式的方程组能够很方便解出来，这个方程组像台阶一样，称为阶梯形方程组，相应的增广矩阵称为阶梯形矩阵。

• 阶梯形方程组：
  （1）元素全为0的行在下方（0行在下方）
  （2）非0行第一个非0元素（首非0元）称为主元，主元的列指标（列下标）随着行指标的增加而严格地增大。

或者接着再往下做，将第三行乘$\frac{1}{3}$
$⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
把第三行的一倍加到第二行（消去行首非0元素后面的元素）：
$⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
第三行的-1倍加到第一行：
$⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
现在第一行还有一个$x_2$的系数，要把3也变成0，则第二行的-3倍加到第一行
$⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
由此可知$x_1=3,x_2=-1,x_3=2$
这就全用矩阵来计算解线性方程组。
此时主元都是1，主元所在列的其余元素都是0，称这样的矩阵为简化行阶梯形矩阵。