代码随想录算法训练营第43天：动态规划part10：子序列问题

300.最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

子序列问题分析：

dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

注意**：概括来说：不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关——这也是考虑如何构建动态规划算法的方法

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n)

int lengthOfLIS(int* nums, int numsSize) {int dp[numsSize];dp[0]=1;int max_ans=1;//结果不一定在最后一个位置for (int i=1;i<numsSize;i++){dp[i]=1;//为什么要初始化成1：包含自己必然是最大的子序列，尤其是涉及到fmax，不能随便初始化的for (int j=0;j<i;j++){if(nums[j]<nums[i]) dp[i]=fmax(dp[i],dp[j]+1);}printf("%d",dp[i]);max_ans=fmax(max_ans, dp[i]);}return max_ans;
}

674. 最长连续递增序列

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给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例 2：

• 输入：nums = [2,2,2,2,2]
• 输出：1
• 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

可以不用动态规划直接做：贪心 o（n） o（1）复杂度

int findLengthOfLCIS(int* nums, int numsSize) {int max_ans=1;int this=1;for (int i=1;i<numsSize;i++){if(nums[i]>nums[i-1]) {this++;max_ans=fmax(this, max_ans);}        else {this=1;}}return max_ans;
}

感觉动规做法过于复杂：

int findLengthOfLCIS(int* nums, int numsSize) {int max_ans=1;int dp[numsSize];dp[0]=1;for (int i=1;i<numsSize;i++){dp[i]=1;if(nums[i]>nums[i-1])  dp[i]=dp[i-1]+1;max_ans=fmax(max_ans, dp[i]);}return max_ans;
}

718. 最长重复子数组

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给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示：

• 1 <= len(A), len(B) <= 1000
• 0 <= A[i], B[i] < 100

分析：

dp【i】【j】：是以i位置、j位置为结尾的匹配的情况——所以只和左上位置元素相关

之前考虑的时候，考虑成i位置、j位置以前的匹配的最大值情况，发现没有办法从上一个状态推导到这个状态——优先直接出结果，如果不能出结果，可以退而求其次，最大值的任务落在max_ans

上，优先考虑本次状态的情况

int findLength(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {int dp[nums1Size][nums2Size];memset(dp,0, sizeof(dp));if(nums1[0]==nums2[0]) dp[0][0]=1;int max_ans=0;for (int i=1;i<nums1Size;i++){if(nums2[0]==nums1[i]) dp[i][0]=1;max_ans=fmax(max_ans, dp[i][0]);}for (int j=1;j<nums2Size;j++){if(nums1[0]==nums2[j]) dp[0][j]=1;max_ans=fmax(max_ans, dp[0][j]);}for (int i=1;i<nums1Size;i++){for (int j=1;j<nums2Size;j++){if(nums1[i]==nums2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;max_ans=fmax(max_ans, dp[i][j]);}}return max_ans;}