【文科生能看懂的】牛顿二项式定理

牛顿二项式定理就是用来求某个二项式的整数次幂的展开式的。

简单的二项式整数次幂

我们可以先从简单的情况开始，比如二项式$(a+b)$的整数次幂：
$$\begin{gathered} (a+b{)}^0=1 \\ (a+b{)}^1=a+b \\ (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \end{gathered}$$
这几个等式都比较简单，具体的展开过程就不赘述了。但是如果指数再往上增加，展开的难度就会急剧上升，比如当指数为4时：
$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^4& =(a+b{)}^3(a+b)\\ & =(a^3+3a^2{b}^{+}3a{b}^2+b^3)(a+b)\\ & =a^4+3a^{3}b+3a^2{b}^2+a{b}^3+a^{3}b+3a^2{b}^2+3a{b}^3+b^4\\ & =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\end{array}$$

展开的结果中的规律

但是好在这些结果都是有规律的，现在还不大能看出来，但是如果把上面4个等式这样写，就很清晰了：
$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^0& =a^0{b}^0\\ (a+b{)}^1& =a^1{b}^0+a^0{b}^1\\ (a+b{)}^2& =a^2{b}^0+2a^1{b}^1+a^0{b}^2\\ (a+b{)}^3& =a^3{b}^0+3a^2{b}^1+3a^1{b}^2+a^0{b}^3\\ (a+b{)}^4& =a^4{b}^0+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4{a}^0\end{array}$$

结果中各项的指数

还不够清晰的话，我们把等式左边都去掉，把系数也都去掉：
$$\begin{gathered} a^0{b}^0 \\ {a}^1{b}^0+a^0{b}^1 \\ {a}^2{b}^0+a^1{b}^1+a^0{b}^2 \\ {a}^3{b}^0+a^2{b}^1+a^1{b}^2+a^0{b}^3 \\ {a}^4{b}^0+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4{a}^0 \end{gathered}$$
一个很经典的金字塔造型。一行一行来看的话，每一行的式子中：

• 都是$a$和$b$的不同指数幂的乘积的和
• $a$和$b$的指数一个递增、一个递减

用统一的式子来表达就是：
$$\sum _{k=0}^n{a}^{n-k}{b}^k$$

其中$k$和$n$都是整数，$k$的范围为$[0,n]$

结果中各项的系数

现在我们再单独来看之前被我们拿掉的系数：
$$\begin{gathered} 1 \\ 11 \\ 121 \\ 1331 \\ 14641 \\ \cdots \end{gathered}$$
这个金字塔大家应该很熟悉吧，这就是著名的杨辉三角，西方叫帕斯卡三角。

• 三角中的两个斜边和上顶点都是1；
• 其他的数是它头上的两个数的和

乍一看这个规律很难总结，但是如果把它们换成组合数的话:
$$\begin{gathered} C_0^0 \\ {C}_1^0{C}_1^1 \\ {C}_2^0{C}_2^1{C}_2^2 \\ {C}_3^0{C}_3^1{C}_3^2{C}_3^3 \\ {C}_4^0{C}_4^1{C}_4^2{C}_4^3{C}_4^4 \\ \cdots \end{gathered}$$

关于组合数的计算可以参考本专栏的《【文科生能看懂的】排列组合》

这样一眼就能看出规律来了吧，用表达式总结就是:
$$C_n^k$$

其中$k$和$n$都是整数，$k$的范围为$[0,n]$

二项式定理

将上面找出的结果中各项的指数和系数的规律总结到一起，就成了二项式定理：
$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^n& =\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k\\ & =C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +C_n^n{a}^0{b}^n\end{array}$$
也可以这样表示：
$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^n& =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)a^n{b}^0+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)a^{n-1}{b}^1+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)a^0{b}^n\end{array}$$
其中，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$称为二项式系数，等于组合数$C_n^k$。