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树的重心 by江河湖海

引入

重心是什么?

想象你有一个由线悬挂的秋千,秋千的两端坐着两个人,如果这两个人坐在秋千的重心上,秋千就会保持平衡。在树的结构中,重心就是那个让所有节点到它那里的“距离”(可以理解为线的长度)总和最小的点。

重心为什么最多只有两个?

假设树的重心有两个,我们称它们为A和B。如果A和B不是相邻的,那么在它们之间会有一条路径,这条路径上的节点到A和B的距离总和就不可能最小,因为我们可以找到一个点在A和B之间的路径上,使得总距离更小。所以,如果有两个重心,它们必须是相邻的。

重心为什么相邻?

继续用秋千的例子,如果A和B不是相邻的,你可以想象它们是秋千的两端,而中间的路径就像是连接两端的秋千座椅。如果A和B之间有一个点C,那么C到A和B的距离总和肯定比A或B到它们自己的距离总和要小,因为C更接近秋千的中间。这就违反了A和B是重心的条件。

如何找到重心?

想象你在玩一个游戏,你要把所有的点(可以想象成是树上的苹果)都拉到一个点上,使得拉线总长度最短。你开始时可能随便选一个点,然后你发现,如果你把这个点稍微移动一下,总长度就会变短。你继续移动,直到你发现无论怎么移动,总长度都不会再变短了,那么这个点就是重心。

重心如何移动?

如果你在树上加一个苹果(增加一个节点),重心可能会移动,但最多只移动到相

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