【人工智能/机器学习/机器人】数学基础-学习笔记

函数

奇偶性：

• 偶函数：$f(-x)=f(x)$     y轴对称
  $f(x)=x^2$     $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$

• 奇函数：$f(-x)=-f(x)$  原点对称
  $f(x)=x^3$     $f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$

• 周期性： $f(x+T)=f(x)$

• 单调性：

• 

极限

数列

按照一定次数排列的一列数：$u_1,u_2,u_3,\cdot \cdot \cdot ,u_n,\cdot \cdot \cdot$，其中$u_n$叫做通项

对于数列 { u n } \{u_n\} {un​}，如果当$n$无限大时，其通项无限接近于一个参数$A$
则称该数列以$A$为极限或称数列收敛于$A$，否则称数列为发散
$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=A$ ，或$u_n\to A(n\to \infty )$
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{3^n}=0$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n$不存在

极限

符号表示：
$x\to \infty$表示“当$|x|$无限增大时”；
$x\to +\infty$表示“当$x$无限增大时”；
$x\to -\infty$表示“当$x$无限减少时”；
$x\to x_0$表示“当$x$从$x_0$的左右两侧无限接近于$x_0$时”；
$x\to x_0^{+}$表示“当$x$从$x_0$的右侧无限接近于$x_0$时”；
$x\to x_0^{-}$表示“当$x$从$x_0$的左侧无限接近于$x_0$时”；

• 函数在$x_0$的邻域内有定义，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，或$f(x)\to A(x\to x_0)$
  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$
• 左右极限：函数在左半邻域$(x_0-\delta ,x_0)$或右半邻域$(x_0,x_0+\delta )$内有定义
  $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$，或$f(x)\to A(x\to x_0^{+})$或$f(x_0+0)=A$
  $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$，或$f(x)\to A(x\to x_0^{-})$或$f(x_0-0)=A$

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