线性代数 第七讲 二次型_标准型_规范型_坐标变换_合同_正定二次型详细讲解_重难点题型总结

1.二次型

1.1 二次型、标准型、规范型、正负惯性指数、二次型的秩

二次型:

二次型中的矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵天然的可相似对角化。

解释说明：
二次型其实是一个由二次的项组成的式子
它可以写成X^TAX的形式,其中A矩阵是对称阵
其中A矩阵是怎么写出来的？
1.A的对角线元素是由x_n的平方决定，a₁₁是x₁²前的系数，a₂₂是x₂²前的系数，以此类推
2. 对称位置a₁₂,a₂₁ 这种由混合项x₁x₂的系数决定，以此类推

标准型:

解释说明：
标准型就是去掉了混合项，二次型矩阵A变成了对角矩阵
注意:一个二次型的标准型并不唯一，在选择题中，我们求出的标准型和答案给出的标准型不一定一样，但是正负项数肯定一样，即规范型一样。

规范型:

规范型就是在标准型的基础上，平方项的次数是1或-1或0
规范型能确定什么？
不同的标准型能被化成相同的规范型的形式。
所以说，规范型能确定的东西有限，我们只能通过规范型得到正负系数，正负惯性指数

正惯性指数 负惯性指数:

解释说明：
正惯性指数就是标准型中平方项系数为正数的个数
负惯性指数就是标准型中平方项系数为负数的个数
正惯性指数 负惯性指数是对标准型而言的，只有处理成标准型才能看见正负惯性指数

二次型的秩:

二次型的秩就是二次型矩阵A的秩
r(f)=r(A)

1.2 坐标变换

坐标变换，其实我们可以理解为换元，在高等数学的学习中，我们经常利用换元法将复杂的式子通过换元来变成简单的式子，在二次型中也同样如此，
x=Cy的形式换元，重要的是C矩阵 |C|≠0

1.3 合同

如C^TAC=B，C可逆，称矩阵A和B合同

合同的性质：

1. A合同于A
2. A合同于B，则B合同于A
3. 合同具有传递性，A合同于B，B合同于C，A合同于C

二次型与正交变换与合同之间的联系：

补充:通过坐标变换，可以得到A合同于一个对角矩阵

1.4 正交变换化为标准型

核心：通过求二次型矩阵A的特征值，就可得出二次型的标准型。通过求二次型矩阵A的特征向量，得到坐标变换x=Qy，其中Q是由A的特征向量经过施密特正交化组成的。

二次型化标准型就转变成了求特征值求特征向量的问题。

2.二次型的主要定理

定理1:
见二次型与正交变换与合同之间的联系的结论

定理2:
任一个二次型X^TAX都存在坐标变换x=cy化成标准型

3.正定二次型与正定矩阵

n元二次型f(x₁,x₂…)=x^TAx,若对任意的x[x₁,x₂,…,x_n]^T≠0,均有x^TAx>0,则称f为正定二次型，A为正定矩阵。

正定二次型的充要条件：
1.定义法 任意x， x^TAx>0
2.f的正惯性指数p=n
3.A的特征值λ_i均>0
4.A的全部顺序主子式均>0

正定二次型的必要条件：
1.a_ii>0
2.|A|>0

在判断是否是正定矩阵的题目中，常用充要条件是2-4或必要条件1得出

补充一个小知识:反对称矩阵A^T=-A

4.重难点题型总结

4.1 配方法将二次型化为标准型

配方法将含有平方项的二次型化为标准型:

一步一步来，先配x₁，再配x₂,这样就能防止｜c｜=0，使得坐标变换失败

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.4

配方法将不含有平方项的二次型化为标准型:

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.5

4.2 正交变换法将二次型化为标准型

在写出二次型矩阵出过程中，非常值得注意的是平方项不用除以2，混合项除以2

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.6-6.7

4.3 规范型确定取值范围问题

4.4 已知两个二次型f和g，求正否能通过正交变换使得f转换为g

思路：
相似的传递性 合同的传递性
f相似且合同于一个对角阵，g也相似且合同于一个对角阵，他俩相似且合同的对角阵是同一个对角阵，那么f与g相似且合同，所以必有一个正交变换能使得f可以变成g。
综上本质就是，f和g有相同的特征值
一些细节：x=Q₁z 得到对角阵，y=Q

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.9

4.5 由已知条件，反求二次型f(x₁,x₂…)的表达式(反求矩阵问题)

思路如下:
求二次型表达式，也就是求二次型矩阵A，也就是方程组应用那节中的反求矩阵问题，反求矩阵问题两大核心利器，一是矩阵乘法，二是相似

题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.13