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为什么矩阵特征值之和等于主对角线元素之和，特征值乘积等于行列式值

news 2025/10/26 23:25:32

首先给出特征值和特征向量的定义。

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式

Ax=λx                                                                                                                                     （1）

成立，那么数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

（1）式也可写成

（A-λE）x=0                                                                                                                            （2）

这是n个方程n个未知数的线性方程组，他有非零解的充要条件是系数行列式

|A-λE|=0                                                                                                                                    （3）

即

其左端|A-λE|是关于λ的n次多项式，记做f(λ),称为方阵A的特征多项式。

f(\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )*(\lambda _{2}-\lambda )*...*(\lambda _{n}-\lambda )=c_{n}\lambda ^{n }+c_{n-1}\lambda ^{n-1 }+...+c_{1}\lambda +c_{0}

证明对角线元素之和为矩阵的迹（特征值之和）：​

由特征多项式知，\lambda_{}^{n-1}的系数为(\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n})*(-1)^{n-1}

由行列式知，其n！的项中只有主对角线连乘这一项中包含\lambda_{}^{n-1}，\lambda_{}^{n-1}的系数为(a_{11}+a _{22}+...+a_{nn})*(-1)^{n-1}，证毕。

证明特征值之积为行列式的值：​

由特征多项式知，\lambda _{1}*\lambda _{2}*...*\lambda _{n}为不含\lambda的常数项。

将行列式中\lambda=0，可得出常数项为|A|，证毕。

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