为什么矩阵特征值之和等于主对角线元素之和,特征值乘积等于行列式值
首先给出特征值和特征向量的定义。
设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零向量x使关系式
Ax=λx (1)
成立,那么数λ称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
(1)式也可写成
(A-λE)x=0 (2)
这是n个方程n个未知数的线性方程组,他有非零解的充要条件是系数行列式
|A-λE|=0 (3)
即
其左端|A-λE|是关于λ的n次多项式,记做f(λ),称为方阵A的特征多项式。
证明对角线元素之和为矩阵的迹(特征值之和):
由特征多项式知,的系数为
由行列式知,其n!的项中只有主对角线连乘这一项中包含,
的系数为
,证毕。
证明特征值之积为行列式的值:
由特征多项式知,为不含
的常数项。
将行列式中=0,可得出常数项为|A|,证毕。
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