如何从混合信号中剔除某一信号——Schmidt正交化的使用（信号互相关）

本文仅用作方法记录，不讲详细原理和底层逻辑。

在面对混合的接收信号的情况下，例如接收信号:
$$Y=a_1{X}_1+a_2{X}_2+a_3{X}_3+N$$
假设信号$X_1$、$X_2$、$X_3$在时域和频域上都是混叠的，无法区分的。但是他们都是方差时变意义下的二阶非平稳或平稳信号。

为方便描述，不妨假设信号是零均值的，则其协方差函数与自相关函数相等。
C X 1 X 2 = R X 1 X 2 − E { X 1 } − E { X 2 } = R X 1 X 2 C_{X_1 X_2} = R_{X_1 X_2} -E\{X_1\}-E\{X_2\}=R_{X_1 X_2} CX1​X2​​=RX1​X2​​−E{X1​}−E{X2​}=RX1​X2​​

一般来说，发射信号信号$X_1$、$X_2$、$X_3$可以考虑是互不相关，但是其本身的自相关性极强。

即有：
E { X i X i ∗ } = 1 E\{X_i X_i^*\}=1 E{Xi​Xi∗​}=1
E { X i X j ∗ } = 0 E\{X_i X_j^*\}=0 E{Xi​Xj∗​}=0

利用以上假设条件，我们可以将信号从混合信号中依次剥离出来。

具体方法是将信号$X_1$通过施密特正交的方法，投影到混合信号所在的子空间上，利用Gram-Schmidt正交变换中去除平行分量的方法来实现剔除信号$X_1$。

用$\hat{Y}$表示分离出$X_1$后的混合信号：

Y ^ = Y − E { Y X 1 ∗ } E { X 1 X 1 ∗ } X 1 \hat{Y}=Y-\frac{E\{Y X_1^*\}}{E\{X_1 X_1^*\}}X_1 Y^=Y−E{X1​X1∗​}E{YX1∗​}​X1​
从式可看出$\hat{Y}$中不再包含$X_1$的成分,仅仅是由余下的信号$X_2$、$X_3$和噪声$N$线性组合构成的。

由于施密特正交化是对信号做互相关，因此该方法也被称为信号互相关法。

接着用$\hat{Y}$取代$Y$，反复上述过程,就可以依次剔除所有信号。

利用此方法我们可以从混合信号中提取出信号和干扰的分量，直至余下噪声。依此计算干噪比、信噪比和干信比等信息。

不过在实际应用中，信号之间的互相关系数不为0，只能是 E { X i X j ∗ } ≈ 0 E\{X_i X_j^*\}\approx0 E{Xi​Xj∗​}≈0，因此该方法存在微小的误差。