Day99 代码随想录打卡|动态规划篇--- 01背包问题

题目（卡玛网T46）：

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。 

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

方法：本题是经典的01背包问题，这种问题有固定的思考方式，先推导理解一下。同样还是根据动态规划的五步法来思考。

1：dp数组的含义：因为这里涉及到背包容量和物品的重量两个元素，所以需要二维数组dp[i][j]来表示dp数组，其含义可以理解为当背包容量为j时，任选0-i的物品可以获得的最大价值。

2：dp递推公式的推导：dp[i][j]的获得方式我们可以从两种地方得到，一个是当前不放i物品，一个是当前放i物品。当不放i物品时，当前的最大价值很容易得到就是有上一层状态得到为dp[i-1][j]，如果当前放i物品的话，首先要预留足够放置i物品的空间，dp[i][j-weight[i]],，此时能获得的最大重量即使dp[i][j-weight[i]] + value[j]，因此这两种情况下可以得到递推公式dp[i][j=max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[j])。

3：初始化：当背包容量为0时没有什么好考虑的，肯定价值都为0，因每次dp[i][0]=0，物品0的放置在背包容量小于weight[0]时为0，大于等于时为value[0]

4：遍历顺序，从小到大，先物品再背包

5：举例推导dp数组：

题解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n, bagweight;cin >> n >> bagweight;vector<int> weight(n, 0);vector<int> value(n, 0);for(int i = 0; i < n; i++){cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; j++){cin >> value[j];}vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));for(int j = weight[0]; j <= bagweight; j++){dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.size(); i++){for(int j = 0; j <=bagweight; j++){if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}cout << dp[n - 1][bagweight] << endl;return 0;
}