BZOJ2720: [Violet 5]列队春游 【概率与期望】

题意自行理解,先讲一下概率和期望怎么算
概率
概率准确的定义自行百度,这里就不赘述了
概率的计算其实很简单,就是将符合条件的情况除以总共的情况
下面以掷骰子为例:
问题:将一个骰子掷出,666朝上的概率是多少
解决
很显然的,将一个骰子掷出,一共就只有666种情况,分别是 :
111朝上,222朝上,333朝上,444朝上,555朝上,666朝上
我们要求的是666朝上的概率,不难看出,上述符合666朝上的情况只有一种
那么我们的概率就是
P=16P = \frac{1}{6}P=61
期望
关于期望的详细计算可以看这位大佬的文章 知乎传送门
说的简单一点,期望就是算加权平均数,用当前情况的值乘上当前情况的概率,然后把所有的值都加起来除以1(因为每种情况的概率之和必为1)
回到题目
这道题目仔细思考之后其实会发现,可以用每一个小朋友的期望值之和加起来求得
求解每一个小朋友的期望值
我们设kkk为所有身高大于等于当前小朋友的人数之和(不包括自身)
然后枚举当前小朋友的视野长度LLL
考虑比当前小朋友高的人的站位
那么在这个小朋友前面的LLL个位置都不能站比当前小朋友高的人,那么比小朋友高的kkk个人一共有n−Ln-Ln−L个位置可以放,考虑排列顺序,则共有An−LkA^{k}_{n-L}An−Lk种放法
考虑当前小朋友的位置
因为视野长度为LLL,所以当前小朋友前面必须要预留出LLL个位置给比他矮的小朋友站,所以当前小朋友必须要从L+1L+1L+1的位置开始排,所以当前小朋友有(n−L+1)(n-L+1)(n−L+1)种站位
开始计算
根据乘法原理,符合要求的状况一共有An−Lk∗(n−L+1)A^{k}_{n-L}*(n-L+1)An−Lk∗(n−L+1)种
总共的情况就很好计算了,就是An−LkA^{k}_{n-L}An−Lk
所以当前小朋友的期望值就是
Ans=∑L=1nAn−Lk∗(n−L+1)An−LkAns = \sum_{L=1}^n \frac{A^{k}_{n-L}*(n-L+1)}{A^{k}_{n-L}}Ans=L=1∑nAn−LkAn−Lk∗(n−L+1)
最后化简得出
Ans=k+2n+1Ans = \frac{k+2}{n+1}Ans=n+1k+2
推导过程看这个大佬
说白了就是不想打公式
CodeCodeCode
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int h[1010],sum,n;
double ans = 0;
int main(){cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++){int a;cin >> a;h[a]++;} for(int i = 1; i <= 1000; i++){ans += 1.0*h[i] * (n+1) / (n - sum+1);sum += h[i];//类似前缀和,计算比当前小朋友矮的人数 }cout << fixed << setprecision(2) << ans;return 0;
}
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