坐标系变换总结

二维情况下的转换

1 缩放变换

形象理解就是图像在x方向和y方向上放大或者缩小。
代数形式：
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=k_{x}x\\ y^{\prime }=k_{y}y\end{array}$$
矩阵形式：
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{k}_x& 0\\ 0& k_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
当 $k_x=k_y$ 时，是均匀缩放，两个方向同等比例地缩放。

当 $k_x=-1,k_y=1$ ，是镜像变换，类似整个二维平面的图像以y轴为对称轴对称过去一样。

2 切变

平行力作用在物体上的形变
矩阵形式：
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{k}_x& a\\ 0& k_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_{x}x+ay\\ k_{y}y\end{array}\right)$$
x方向上位置坐标整体向右平移。

3 旋转

旋转是指绕着 原点 逆时针旋转 $\theta$ 的变换。
旋转矩阵如下：

$$R=\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

旋转矩阵是正交阵（转置矩阵等于逆矩阵 $R^T=R^{-1}$）

正交矩阵性质：

1. 转置等于逆，绕某个轴旋转 $\theta$ 的旋转矩阵的逆，就是绕同一轴旋转 $-\theta$
2. 保持向量长度：作用于任何向量时，向量长度不变
3. 列向量（行向量）正交且单位化

4 线性变换

线性变换的理解：参考 https://segmentfault.com/a/1190000041138293
线性映射是由向量空间$V\to W$ 的映射，而线性变换是线性映射的一个特例，是由线性空间 $V$ 到其自身的映射。
通俗理解线性变换就是 坐标轴经过 旋转，伸缩 等操作，原坐标轴上的点一同随着变化，然后这些点会在一个新的位置。
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cy+dy\end{array}\right)$$
其中 $(a,c),(b,d)$ 是新的坐标系下的基方向上的向量。

线性变换的特点：

• 变换前是直线，变换后依然是直线
• 原点保持固定不动

举个例子：
原坐标轴x轴和y轴，两个基为 $i=(1,0),j=(0,1)$ ，这个轴上的某个向量为 $\overrightarrow{A}=(3,2{)}^T=3i+2j$

现在坐标轴有一个线性变换，新的基为 $i^{\prime }=(1,-2),j^{\prime }=(3,0)$ ，此时得到的新的向量，但是它相对于基的关系还是不变的，即 ${\overrightarrow{A}}^{\prime }=3i^{\prime }+2j^{\prime }$

新的${\overrightarrow{A}}^{\prime }$ 在原坐标系（基）下的坐标可以通过矩阵乘法求得：

$${\overrightarrow{A}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

也就是说这个线性变换矩阵是由新的基向量（说基可能不准确，因为基要求模长为1）组成的列向量。

二维线性变换不涉及到平移变换，即二维下的仿射变换不是线性变换。

5 齐次坐标变换

平移变换无法用单独的矩阵相乘的形式表示，因此引入齐次坐标，增加一维。

二维坐标一般被表示为 $(x,y,w)$ ，w是一个非零的缩放因子，一般情况下取w=1

平移矩阵：平移(tx, ty)的齐次变换矩阵

$$\begin{gathered} T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

6 仿射变换

一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换到另一个向量空间。
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

7 组合变换

可以通过矩阵相乘，将多种变换组合在一起，只需将齐次坐标与最终的变换矩阵相乘即可。注意矩阵是从右向左计算的，矩阵是左乘。

可以将一个变换分解：让矩阵按照某一点进行旋转（先将旋转点平移到原点，然后再平移回去）

三维情况下的转换

1 线性齐次变换

变换矩阵如下：
$$T=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& 0\\ y_1& y_2& y_3& 0\\ z_1& z_2& z_3& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3)$ 是新的基向量，即要变换到的坐标系。
将点坐标左乘一个线性变换矩阵，通俗讲就是将原坐标系下的点通过旋转伸长等操作（转到新的坐标系下），求在新坐标系下点的坐标，这个坐标是相对于原坐标系而言的。

同时还可以附加平移操作，新的变换矩阵就是

$$T=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& t_x\\ y_1& y_2& y_3& t_y\\ z_1& z_2& z_3& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

2 旋转变换

任何一个3D旋转都可以表示成绕x轴，y轴，z轴旋转的组合

$$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_x(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma )$$

$\alpha \beta \gamma$ 分别代表物体绕x、y、z旋转的角度，它们也被称为欧拉角