SSY20241002提高组T4题解__纯数论

题面

题目描述

有一天 $peop1e$ 学长梦到了一个丑陋的式子：
$$\sum _{i=1}^n(\sum _{m=1}^R{F}_m)!\times i!\times \sum _{l=0}^i\sum _{j=0}^{{\sum }_{t=1}^R{F}_t}\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{i-l}\right\}}{l!}\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{{\sum }_{w=1}^R{F}_w-j}\right\}}{j!}=$$

其中$F_i$ 表示斐波那契数列的第$i$项,$F_0=0,F_1=1,F_2=1$,
$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}$表示第二类斯特林数, 其值为将$n$ 个不同元素放入$m$ 个集合的方案数。
他想了很久都没有想出来, 于是拿来请教你。如果你做出来了, 他会请你吃饭。
答案对$10^9+7$ 取模。

输入输出格式

输入

一行三个正整数$n,R,K$

输出

一个正整数, 表示答案。

输出输出扬样例

输入1

4 5 2 
3 5 2

输出1

347916

输入2

94082 698 850 

输出2

93954859

数据范围

对于10% 的数据,$n,R,K\le 5$

对于30% 的数据,$n,R\le 10^5,K\le 200$

对于另10% 的数据,$n\le 10^{18},K\le 200,R\le 10^5$

对于另10% 的数据,$n\le 10^{18},K\le 200,R\le 10^{18}$

对于另10% 的数据,$n\le 10^{18},K\le 200,R=1$

对于70% 的数据,$n\le 10^{18},K\le 2000,R\le 10^{18}$

对于100% 的数据,$n\le 10^{18},K\le 200000,R\le 10^{18}$

题解

解析

前置知识

1. $$\sum _{i=1}^n{F}_i=F_{n+2}-1$$证明:数学归纳法
   当 $n=1$ 时显然成立
   假设 $n=m$ 时此式子成立
   $$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{m+1}{F}_i\\ =& \sum _{i=1}^m{F}_i+F_{m+1}\\ =& F_{m+2}+F_{m+1}-1\\ =& F_{m+3}-1\end{array}$$

2. $$m^n=\sum _{i=1}^m{C}_m^i\times \left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right\}\times i$$
   根据小球与盒子相关例题可以轻松理解

3. 拉格朗日插值
   不会只会30分

现在开始正式推导~~(请耐心观看)~~
令 $L={\sum }_{m=1}^R{F}_m$ ,原式变为
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{n}L!\times i!\times \sum _{l=0}^i\sum _{j=0}^L(\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{i-l}\right\}}{l!}\times \frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{L-j}\right\}}{j!})\\ =& \sum _{i=1}^{n}L!\times i!\times \left(\sum _{l=0}^i\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{i-l}\right\}}{l!}\right)\times \left(\sum _{j=0}^L\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{L-j}\right\}}{j!}\right)\\ =& \sum _{i=1}^n(\sum _{l=0}^i\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{i-l}\right\}}{l!}\times i!)\times (\sum _{j=0}^L\frac{\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{L-j}\right\}}{j!}\times L!)\\ =& \sum _{i=1}^n(\sum _{l=0}^i\frac{i!}{l!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{i-l}\left\}\right)\times (\sum _{j=0}^L\frac{L!}{j!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{L-j}\left\}\right)\end{array}$$我们假设 $l,j$ 是倒着枚举的, 推为:
(也可以认为在枚举 $l$ 的时候也会枚举到 $i-l$ 的所有之)
$$\begin{array}{rl}=& \sum _{i=1}^n(\sum _{l=0}^i\frac{i!}{(i-l)!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{l}\left\}\right)\times (\sum _{j=0}^L\frac{L!}{(L-j)!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\left\}\right)\\ =& \sum _{i=1}^n(\sum _{l=0}^i\frac{i!}{(i-l)!\times l!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{l}\}\times l!)\times (\sum _{j=0}^L\frac{L!}{(L-j)!\times j!}\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\}\times j!)\\ =& \sum _{i=1}^n(\sum _{l=0}^i{C}_i^l\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{l}\}\times l!)\times (\sum _{j=0}^L{C}_L^j\times \{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\}\times j!)\\ =& \sum _{i=1}^n{i}^k{L}^i\end{array}$$
恭喜你 到这里你…
只能拿到30分
接下来是拉格朗日插值
明天补