矩阵学习过程中的一些思考

2024.09.27（学习鸢尾花书_矩阵力量_Ch20）

（1）所有中心过原点的椭圆都可以用一个二维矩阵表示，且特征值表示长短轴长度，特征向量表示长短轴所在方向的单位向量（表征椭圆旋转方向）；

（2）一个矩阵可以看做一个对一个向量的线性变化，把这个矩阵进行特征值分解

$$Q=VA{V}^T$$
其中，V是特征向量，A是特征值矩阵。可以理解为A负责对原空间向量在各维度上的缩放，V主要负责旋转。故若原空间有一个封闭图形，则经过Q的变化后，只有A对其面积/体积产生影响，而行列式与体积/面积有关。|Q|即代表该变化对原空间封闭图形面积带来的影响，而又因为只有A对其面积/体积产生影响，故
$$|Q|=|A|$$
而A是对角矩阵，其行列式即为其对角元素的乘积，故特征值矩阵对角元素的乘积，即为原矩阵的特征值。
各个特征值的乘积即可理解为封闭图形从原空间到新空间，各个维度的拉伸情况，相乘即代表其体积的变化