静止坐标系和旋转坐标系变换的线性化，锁相环线性化通用推导

将笛卡尔坐标系的电压 $[U_x,U_y]$ 通过旋转变换（由锁相环角度 ${\theta }_{PLL}$ 控制）转换为 dq 坐标系下的电压 $[U_d,U_q]$。这个公式是非线性的，因为它涉及到正弦和余弦函数。

图片中的推导过程主要描述了在变流器控制中，从静止坐标系（xy坐标系）到旋转坐标系（dq坐标系）的变换关系，并进一步通过线性化近似来简化该变换。

xy坐标系（αβ）到dq坐标系的变换关系

变换公式如下：

$$\left(\begin{array}{c}{U}_{d,i}\\ U_{q,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_{PLL,i}& \sin {\theta }_{PLL,i}\\ -\sin {\theta }_{PLL,i}& \cos {\theta }_{PLL,i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_{x,i}\\ U_{y,i}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}{I}_{d,i}\\ I_{q,i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_{PLL,i}& \sin {\theta }_{PLL,i}\\ -\sin {\theta }_{PLL,i}& \cos {\theta }_{PLL,i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_{x,i}\\ I_{y,i}\end{array}\right)$$

假设角度 ${\theta }_{PLL,i}$ 小偏差为 $\Delta {\theta }_{PLL,}$