初识数据结构--时间复杂度 和 空间复杂度

数据结构前言

数据结构

数据结构是计算机存储、组织数据的方式(指不仅能存储数据，还能够管理数据-->增删改)。指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有单一的数据结构对所有用途都有用，所以我们要学习各种的数据结构，比如：线性表、树、图、哈希等。

---

算法

其实算法就在我们身边。这就好像是给你一道题，怎么去实现它。

算法：就是定义良好的计算过程，他取⼀个或⼀组的值为输⼊，并产⽣出⼀个或⼀组值作为 输出。简单来说算法就是⼀系列的计算步骤，⽤来将输⼊数据转化成输出结果。

---

算法效率

那么任何衡量一个算法的好坏呢？

案例：旋转数组
思路：循环K次将数组所有元素向后移动⼀位

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {while(k--){int end = nums[numsSize-1];for(int i = numsSize - 1;i > 0 ;i--){nums[i] = nums[i-1];}nums[0] = end;}
}

 

 

代码在力扣点击执行可以通过，但是点提交却无法通过，那怎么衡量呢？

这就要给大家提出复杂度的概念。

---

复杂度的概念

算法在编写成为可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(空间)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是通过时间和空间俩个维度来衡量的，既时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量⼀个算法的运⾏快慢，⽽空间复杂度主要衡量⼀个算法运⾏所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很⼩。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机⾏业的 迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很⾼的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注⼀个算法 的空间复杂度。

总的来说：虽然现在计算机的存储容量已经变的很大了，但是也不能随意的浪费。

---

时间复杂度

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运⾏时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运⾏时间呢？

1. 因为程序运⾏时间和编译环境和运⾏机器的配置都有关系，⽐如同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼编译 器进⾏编译和新编译器编译，在同样机器下运⾏时间不同。

2. 同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼低配置机器和新⾼配置机器，运⾏时间也不同。

3. 并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

对于定义大家了解一下就行。

大家只要知道时间复杂度是用来计算程序的执行次数 。

案例：

// 请计算⼀下Func1中++count语句总共执⾏了多少
次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}
}

Func1执行的基本操作次数：T(N) = N² + 2 * N + 10

因为第一个for循环中还嵌套了一个for循环，就是当 i = 0 时， j 就要循环N次 ，当 i = 1， j 就要循环N次 ...... ，这样就是N²。

然后下一个for循环是和第一个for 循环时并列的，所以相加。

最后一个循环了10次，所以相加10。

影响时间复杂度的条件有：

每条语句的执行时间 * 每条语句的执行次数

但是每条语句的执行时间无法给出准确的数据。得出结论：每条语句的执行时间即使有差别，但是微乎其微，可以忽略不计，认为每条语句的执行时间是相同的。

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确的执⾏次数，精确执⾏次数计算起来还是很 ⿇烦的(不同的⼀句程序代码，编译出的指令条数都是不⼀样的)，计算出精确的执⾏次数意义也不⼤。，所以我们只需要计算程序能代表增⻓量 级的⼤概执⾏次数，复杂度的表⽰通常使⽤⼤O的渐进表⽰法。

 

Func1的时间复杂度为O(N²)。 

时间复杂度函数式T(N)中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变⼤时， 低阶项对结果影响越来越⼩，当N⽆穷⼤时，就可以忽略不计了 

---

 大O渐进表⽰法

1. 时间复杂度函数式T(N)中，只保留最⾼阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变⼤时， 低阶项对结果影响越来越⼩，当N⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。

2. 如果最⾼阶项存在且不是1，则去除这个项⽬的常数系数，因为当N不断变⼤，这个系数 对结果影响越来越⼩，当N⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。

3. T(N)中如果没有N相关的项⽬，只有常数项，⽤常数1取代所有加法常数。

---

 时间复杂度计算示例

示例1：

void Func2(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < 2 * N; i++){++count;}int m = 10;while (m--){++count;}
}

 Func2执⾏的基本操作次数： T (N) = 2N + 10

根据推导规则第1条得出

Func2的时间复杂度为： O(N)

---

 示例2：

void Func3(int M, int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < M; i++){++count;}for (int k = 0; k < N; k++){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func3执⾏的基本操作次数：

T (N) = M + N

因此：Func2的时间复杂度为： O(M + N)

因为在这边M 和 N都是变量，都得保留。

---

示例3：

void Func4(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < 100; i++){++count;}printf("%d\n", count);}

T (N) = 100

根据推导规则第3条得出

Func2的时间复杂度为： O(1)

---

 示例4：

const char * strchr ( const char
* str, int character)
{const char* p_begin = s;while (*p_begin != character){if (*p_begin == '\0')return NULL;p_begin++;}return p_begin;
}

 strchr执⾏的基本操作次数：

1）若要查找的字符在字符串第⼀个位置，则： T (N) = 1

2）若要查找的字符在字符串最后的⼀个位置， 则： T (N) = N

3）若要查找的字符在字符串中间位置，则： T (N) = N / 2

因此：strchr的时间复杂度分为：

最好情况： O(1)

最坏情况： O(N)

平均情况： O(N)

总结 通过上⾯我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。

最坏情况：任意输⼊规模的最⼤运⾏次数(上界)

平均情况：任意输⼊规模的期望运⾏次数

最好情况：任意输⼊规模的最⼩运⾏次数(下界)

⼤O的渐进表⽰法在实际中⼀般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运⾏情况。

---

 空间复杂度

空间复杂度也是⼀个数学表达式，是对⼀个算法在运⾏过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。

 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使⽤⼤O渐进表⽰法。

注意：函数运⾏时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间已经确定好 了，因 此空间复杂度主要通过函数在运⾏时候显式申请的额外空间来确定。

---

 空间复杂度计算⽰例

⽰例1

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

函数栈帧在编译期间已经确定好了， 只需要关注函数在运⾏时额外申请的 空间。

BubbleSort额外申请的空间有 exchange等有限个局部变量，使⽤了 常数个额外空间

因此空间复杂度为 O(1)。

---

示例2：

long long Fac(int N)
{if (0 == N){return 1;}return Fac(N - 1) * N;
}

Fac递归调⽤了N次，额外开辟了N个函数栈帧， 每个栈帧使⽤了常数个空间

因此空间复杂度为： O(N)

 

---

 常见复杂度对比

大家可以看到当趋近于无穷时， n ! > 3 ^n > x² > ln(x) > sinx 

希望对大家有所帮助。