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线性代数矩阵

news 2026/3/30 22:50:39

一、矩阵基础

1、定义

一组数按照矩形排列而成的数表；形似行列式，区别点是

	矩阵	行列式
符号	()或[]	\| \|
形状	方阵或非方阵	方阵
本质	数表	数
属性	A	\|A\|是A诸多属性中的一种
维度	m *n (m 与n可以相等也可以不相等)	n*n

同型矩阵 若A、B两个矩阵都是m×n 矩阵，那么A 和 B 就是同型矩阵。

矩阵相等 A 和 B 的维度相同都是 m×n矩阵且所有 i 和 j，都有 aij=bij ，那么两个矩阵相等。

方阵 n×n 的方阵 A（行列式）。

单位矩阵 主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的方阵，记作 I 或 E。

对角矩阵 主对角线上的元素都是任意数，其余元素都是 0 的方阵。

上三角矩阵 主对角线及其上方的元素可以是任意值，主对角线下方的元素都是 0 的方阵。

下三角矩阵 主对角线及其下方的元素可以是任意值，主对角线上方的元素都是 0 的方阵。

零矩阵 所有元素都是零；零矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n。

行矩阵 只有一行，但有多列。

列矩阵 只有一列，但有多行。

2、矩阵的运算

2.1、加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。

C=A+B ，其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 cij=aij+bij。

交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。

结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。

零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。

负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

例如：

解：

2.2、减法

两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵（与加法一样）。

C=A−B， C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差，即cij=aij-bij （与加法不同，顺序不对会有正反之分，所以不满足交换律）

结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。

零矩阵：零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色，即对于任何矩阵 A，有 A − O = A

例如：

解：

2.3、数乘

数乘是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

行列式提公因子：行列式的某一行（列）有公因子k，则k向外提一次。

结合律：对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。

分配律：对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。

标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。

单位标量：对于任何矩阵 A，有 1A=A。

零标量：对于任何矩阵 A，有 0A=O。

例如：，计算 2A

解：所有元素都乘以2

2.4、乘法

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵（矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数 ，即乘法左右两个数相等；中间相等，取两端），也就是矩阵乘法不满足交换率，也不满足A XB=AXC，不能推导出B=C。

结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C（满足乘法条件），那么 (A×B)×C=A×(B×C)。

分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C（满足乘法条件），那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。

单位矩阵：如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

例如：，求C=AXB的矩阵

解： $C_{11}$ = 1*7 + 2*9+3*11=51； $C_{12}$ = 1*8 + 2*10+3*12=64； $C_{21}$ = 4*7 + 5*9+6*11=139； $C_{22}$ = 4*8 + 5*10+6*12=154；

2.5、幂

幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作（不理解 2*3 的矩阵咋算）

$A^2$ 就是 A*A的乘法运算。

2.6、转置

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

(A^T)^T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。

(A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。

(kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。

(AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反