超平面(Hyperplane)和半空间(Halfspace)
文章目录
- 一、超平面(Hyperplane)
- 1. 定义
- 2. 超平面的方程
- 3. 例子
- 4. 超平面的性质
- 二、半空间(Halfspace)
- 1. 定义
- 2. 半空间的表示
- 3. 半空间的性质
- 三、超平面与半空间的关系
- 四、应用
- 1. 线性规划
- 2. 机器学习
- 3. 计算几何
- 4. 凸分析
- 五、总结
一、超平面(Hyperplane)
1. 定义
在 n n n维欧几里得空间 R n \mathbb{R}^n Rn中,超平面是一个 n − 1 n-1 n−1维的仿射子空间。直观地说,超平面将空间划分为两个部分,是空间中的“平面”推广到高维的概念。
- 在二维空间( R 2 \mathbb{R}^2 R2)中,超平面是直线( 1 1 1维)。
- 在三维空间( R 3 \mathbb{R}^3 R3)中,超平面是平面( 2 2 2维)。
- 在 n n n维空间中,超平面是 n − 1 n-1 n−1维的子空间。
2. 超平面的方程
超平面可以用线性方程表示。一般形式为:
w ⊤ x + b = 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b = 0 w⊤x+b=0
其中:
- w = [ w 1 , w 2 , … , w n ] ⊤ \mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]^\top w=[w1,w2,…,wn]⊤ 是法向量,决定了超平面的方向。
- x = [ x 1 , x 2 , … , x n ] ⊤ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^\top x=[x1,x2,…,xn]⊤ 是空间中的点。
- b b b 是偏置(截距)项,决定了超平面的位置。
3. 例子
二维空间( R 2 \mathbb{R}^2 R2)
- 超平面:直线。
- 方程: w 1 x 1 + w 2 x 2 + b = 0 w_1 x_1 + w_2 x_2 + b = 0 w1x1+w2x2+b=0。
三维空间( R 3 \mathbb{R}^3 R3)
- 超平面:平面。
- 方程: w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + b = 0 w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + b = 0 w1x1+w2x2+w3x3+b=0。
4. 超平面的性质
- 法向量: w \mathbf{w} w 是超平面的法向量,垂直于超平面上的所有向量。
- 仿射性质:超平面是一个仿射子空间,不一定经过原点,除非 b = 0 b=0 b=0。
- 线性多样体:当 b = 0 b=0 b=0时,超平面是一个线性子空间。
二、半空间(Halfspace)
1. 定义
半空间是由超平面将空间分割成的两个部分之一。具体来说,超平面将 R n \mathbb{R}^n Rn分割成两个闭的或开的半空间。
2. 半空间的表示
根据超平面的方程,半空间可以表示为:
-
闭半空间(Closed Halfspace):
w ⊤ x + b ≤ 0 或 w ⊤ x + b ≥ 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b \leq 0 \quad \text{或} \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b \geq 0 w⊤x+b≤0或w⊤x+b≥0 -
开半空间(Open Halfspace):
w ⊤ x + b < 0 或 w ⊤ x + b > 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b < 0 \quad \text{或} \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b > 0 w⊤x+b<0或w⊤x+b>0
3. 半空间的性质
- 凸集:半空间是凸集,因为对于任何两个在半空间内的点,连接它们的线段也完全在半空间内。
- 分离性质:超平面将空间分为两个半空间,且任何一点要么在超平面上,要么在其中一个半空间内。
三、超平面与半空间的关系
- 划分空间:超平面将 n n n维空间划分为两个半空间。
- 边界:超平面是半空间的边界。
- 分类:在机器学习中,超平面用于作为分类器的决策边界,将不同类别的数据点分割到不同的半空间中。
四、应用
1. 线性规划
- 可行域:线性规划中的约束条件通常是线性不等式,表示半空间。所有约束的交集形成了可行域,是一个凸多面体。
- 最优解:在线性规划中,目标函数在可行域的顶点(可能在超平面上)取得最优值。
2. 机器学习
- 支持向量机(SVM):SVM试图找到一个超平面,将不同类别的样本分开,且使得间隔最大。
- 感知器:感知器模型使用超平面作为线性分类器。
3. 计算几何
- 空间划分:利用超平面将空间划分,有助于解决最近邻搜索、范围查询等问题。
- 凸包:凸多面体的面是由超平面组成的。
4. 凸分析
- 支持超平面:对于凸集,支持超平面是与该集相切且不穿过该集的超平面。
- 分离定理:如果两个不相交的凸集,那么存在一个超平面将它们分开。
五、总结
超平面和半空间是高维空间中的基本几何概念,具有重要的理论意义和实际应用。
- 超平面: n n n维空间中的 n − 1 n-1 n−1维子空间,可用线性方程 w ⊤ x + b = 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b = 0 w⊤x+b=0表示。
- 半空间:由超平面划分出的空间的一部分,可用不等式 w ⊤ x + b ≤ 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b \leq 0 w⊤x+b≤0或 ≥ 0 \geq 0 ≥0表示。
- 应用领域:线性规划、机器学习、计算几何、凸分析等。
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